Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral x^3 cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^3cos(5x),dx
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^3, dv = cos(5x),dx
Então
du = 3x^2,dx, v = integral cos(5x),dx = 15sin(5x)
Aplicando a fórmula,
integral x^3cos(5x),dx = x^3cdot15sin(5x) - integral 15sin(5x)cdot 3x^2,dx = x^35sin(5x) - 35integral x^2sin(5x),dx

Passo 3

Agora calculamos integral x^2sin(5x),dx por partes, com
u1=x^2, dv1=sin(5x),dx
du1=2x,dx, v1=integral sin(5x),dx = -15cos(5x)
Logo,
integral x^2sin(5x),dx = x^2l(-tfrac15cos(5x)r) - integral l(-tfrac15cos(5x)r),2x,dx = -x^25cos(5x) + 25integral xcos(5x),dx
Substituindo de volta,
integral x^3cos(5x),dx = x^35sin(5x) - 35l(-tfracx^25cos(5x) + tfrac25integral xcos(5x),dxr)
= x^35sin(5x) + 3x^225cos(5x) - 625integral xcos(5x),dx

Passo 4

Falta integral xcos(5x),dx. Fazemos mais uma vez por partes com
u2=x, dv2=cos(5x),dx
du2=dx, v2=integral cos(5x),dx = 15sin(5x)
Então
integral xcos(5x),dx = xcdottfrac15sin(5x) - integral tfrac15sin(5x),dx = x5sin(5x) - 15l(-tfrac15cos(5x)r) = x5sin(5x) + 125cos(5x)

Passo 5

Substituindo no resultado do Passo 3:
integral x^3cos(5x),dx = x^35sin(5x) + 3x^225cos(5x) - 625l(x5sin(5x) + 125cos(5x)r)
= x^35sin(5x) + 3x^225cos(5x) - 6x125sin(5x) - 6625cos(5x) + C

Resposta

integral x^3cos(5x),dx = x^35sin(5x) + 3x^225cos(5x) - 6x125sin(5x) - 6625cos(5x) + C

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