Resolva para x :
2^x-1=5^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver para x a equação exponencial
2^x-1 = 5^2x+1
Para isso vamos usar logaritmos, aproveitando que ambos os lados são positivos, e aplicar o logaritmo natural em cada lado.

Passo 2

Aplicando ln em ambos os lados, usamos a propriedade ln(a^b)=bln a. Isso dá
lnl(2^x-1r) = lnl(5^2x+1r) Longrightarrow (x-1)ln2 = (2x+1)ln5

Passo 3

Agora expandimos e agrupamos os termos que contêm x:
xln2 - ln2 = 2xln5 + ln5 Longrightarrow xln2 - 2xln5 = ln2 + ln5

Passo 4

Fatorando x no lado esquerdo e isolando-o, obtemos
x,l(ln2 - 2ln5r) = ln2 + ln5 Longrightarrow x = ln2 + ln5ln2 - 2ln5
Como ln2+ln5=ln10 e ln2-2ln5=ln(2/25), uma forma alternativa é
x = ln10lnl(2/25r)

Resposta

x = ln2 + ln5ln2 - 2ln5

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