Esboce o gráfico da curva representada pelas funções vetoriais a seguir
Passo 1
O enunciado nos pede para desenhar a curva em
dada pela função vetorial
.
O conteúdo é geometria de curvas paramétricas em ; precisamos entender as projeções em planos coordenados e como combinar a parte circular em
com a evolução de
.
O conteúdo é geometria de curvas paramétricas em
Passo 2
Analisamos primeiro a projeção no plano
.
Como
Como
vemos que
descreve o círculo de raio 1 centrado na origem, ou seja
Passo 3
Agora olhamos para a coordenada vertical
Isso é uma parábola:
para todo
, com mínimo
em
, crescendo para
quando
.
Passo 4
Para cada valor de
, a curva está no cilindro
mas “sobe” segundo
. Ao variar
, o ponto viaja em volta do cilindro (porque
gira) e simultaneamente ganha altura de forma quadrática.
Passo 5
O esboço final é portanto uma hélice de passo variável sobre o cilindro de raio 1:
– Em temos
.
– Para , a curva gira no sentido anti-horário visto de cima e sobe acelerando (passo da hélice aumenta).
– Para , ela também gira (mesmo sentido) e sobe simetricamente à medida que
cresce, partindo de infinito em
para chegar ao ponto mais baixo em
.
– Em
– Para
– Para
Resposta
A curva está contida no cilindro
e forma uma hélice de passo variável definido por
, com mínimo em
e subindo para
conforme
.