Esboce o gráfico da curva representada pelas funções vetoriais a seguir
r(t)=cos t i+sin t j+t^2 k

Passo 1

O enunciado nos pede para desenhar a curva em R^3 dada pela função vetorial
vec r(t)=cos t,vec i+sin t,vec j+t^2,vec k.
O conteúdo é geometria de curvas paramétricas em R^3; precisamos entender as projeções em planos coordenados e como combinar a parte circular em xy com a evolução de z.

Passo 2

Analisamos primeiro a projeção no plano xy.
Como
x(t)=cos t, y(t)=sin t,
vemos que (x,y) descreve o círculo de raio 1 centrado na origem, ou seja
x^2+y^2=cos^2t+sin^2t=1

Passo 3

Agora olhamos para a coordenada vertical
z(t)=t^2
Isso é uma parábola: z>=0 para todo t, com mínimo z=0 em t=0, crescendo para +infty quando lvert trverttoinfty.

Passo 4

Para cada valor de t, a curva está no cilindro
x^2+y^2=1,
mas “sobe” segundo z=t^2. Ao variar t, o ponto viaja em volta do cilindro (porque (x,y) gira) e simultaneamente ganha altura de forma quadrática.

Passo 5

O esboço final é portanto uma hélice de passo variável sobre o cilindro de raio 1:
– Em t=0 temos (x,y,z)=(1,0,0).
– Para t>0, a curva gira no sentido anti-horário visto de cima e sobe acelerando (passo da hélice aumenta).
– Para t<0, ela também gira (mesmo sentido) e sobe simetricamente à medida que lvert trvert cresce, partindo de infinito em z para chegar ao ponto mais baixo em t=0.

Resposta

A curva está contida no cilindro x^2+y^2=1 e forma uma hélice de passo variável definido por z=t^2, com mínimo em (1,0,0) e subindo para zto+infty conforme lvert trverttoinfty.

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