Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral x^4 e^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral x^4e^5x,dx
O conteúdo é o método de integração por partes repetido, pois cada aplicação reduz a potência de x até chegar a uma integral de e^5x, que é imediata.

Passo 2

Defina
In=integral x^ne^5x,dx
Pela fórmula de integração por partes, com u=x^n e dv=e^5xdx, temos du=n,x^n-1dx e v=tfrace^5x5. Logo
In = x^n,e^5x5 - n5, integral x^n-1e^5x,dx = e^5xx^n5 - n5,In-1

Passo 3

Começamos do caso básico
I0=integral e^5x,dx=e^5x5
Em seguida
I1 = e^5xx5 - 15I0 = e^5xl(x5-125r),
I2 = e^5xx^25 - 25I1 = e^5xl(x^25-2x25+2125r),
I3 = e^5xx^35 - 35I2 = e^5xl(x^35-3x^225+6x125-6625r)

Passo 4

Finalmente para n=4:
I4 = e^5xx^45 - 45I3 = e^5xl(x^45 - 4x^325 + 12x^2125 - 24x625 + 243125r)

Resposta

integral x^4e^5x,dx = e^5xl(x^45 - 4x^325 + 12x^2125 - 24x625 + 243125r) + C

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