Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral 8 x ln (6 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 8x ln(6x),dx
usando o método de integração por partes. Esse método parte da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
onde escolhemos funções u e dv de modo a simplificar a integral resultante.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(6x), dv = 8x,dx
Então calculamos
du = ddx[ln(6x)],dx = 1x,dx,
v = integral 8x,dx = 4x^2

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral 8xln(6x),dx = u,v - integral v,du = 4x^2ln(6x) - integral 4x^2cdot1x,dx
Dentro da integral sobra
4x^2cdot1x = 4x,
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integral 8xln(6x),dx = 4x^2ln(6x) - integral 4x,dx

Passo 4

Agora integramos integral4x,dx:
integral 4x,dx = 2x^2
Substituindo de volta, obtemos
integral 8xln(6x),dx = 4x^2ln(6x) - 2x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxedintegral 8xln(6x),dx = 4x^2ln(6x) - 2x^2 + C

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