Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
x+2 y+3 z=6 e y-2 z=3 orientada de modo que z aumenta ao longo da curva.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção das superfícies
x + 2y + 3z = 6
e
y - 2z = 3,
que é uma reta no espaço. Nosso conteúdo é parametrização de reta obtida como interseção de duas superfícies. Vamos resolver o sistema expressando duas variáveis em função de uma terceira, escolhida como parâmetro, de modo a garantir que z aumente quando o parâmetro cresce.

Passo 2

Da segunda equação isolamos y em função de z.
y - 2z = 3 Longrightarrow y = 3 + 2z

Passo 3

Substituímos y = 3 + 2z na primeira equação para expressar x em função de z.
x + 2(3 + 2z) + 3z = 6 Longrightarrow x + 6 + 4z + 3z = 6 Longrightarrow x + 7z = 0 Longrightarrow x = -7z

Passo 4

Agora escolhemos o parâmetro t tal que
z = t
Com isso, obtemos
x = -7t, y = 3 + 2t, z = t

Passo 5

Como z(t)=t, conforme t aumenta, z também aumenta, satisfazendo a orientação pedida.

Resposta

A parametrização desejada é
r(t) = l(-7t,;3+2t,;tr), t in R

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