Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
e
orientada de modo que
aumenta ao longo da curva.
Passo 1
O enunciado pede a curva de interseção das superfícies
e
que é uma reta no espaço. Nosso conteúdo é parametrização de reta obtida como interseção de duas superfícies. Vamos resolver o sistema expressando duas variáveis em função de uma terceira, escolhida como parâmetro, de modo a garantir que
aumente quando o parâmetro cresce.
Passo 2
Da segunda equação isolamos
em função de
.
Passo 3
Substituímos
na primeira equação para expressar
em função de
.
Passo 4
Agora escolhemos o parâmetro
tal que
Com isso, obtemos
Passo 5
Como
, conforme
aumenta,
também aumenta, satisfazendo a orientação pedida.
Resposta
A parametrização desejada é