Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral raiz4 x ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raiz4x,ln(x),dx
O conteúdo aqui é o método de integração por partes. Primeiro vamos simplificar a raiz para facilitar o trabalho.

Passo 2

Note que
raiz4x = 2raizx = 2,x^1/2
Logo
integral raiz4x,ln(x),dx = 2 integral x^1/2,ln(x),dx
Agora concentramos em
I = integral x^1/2,ln(x),dx

Passo 3

Em I usamos integração por partes. Escolhemos
u = ln(x), dv = x^1/2,dx
Então
du = 1x,dx, v = integral x^1/2,dx = 23,x^3/2

Passo 4

Pela fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
I = ln(x),23x^3/2 - integral 23x^3/2,1x,dx = 23x^3/2ln(x) - 23integral x^1/2,dx
E como integral x^1/2,dx = tfrac23x^3/2,
I = 23x^3/2ln(x) - 23cdot23x^3/2 = 23x^3/2ln(x) - 49x^3/2 + C

Passo 5

Voltando à integral original, multiplicamos por 2:
integral raiz4x,ln(x),dx = 2,I = 2l(23x^3/2ln(x) - 49x^3/2r) + C = 43x^3/2ln(x) - 89x^3/2 + C

Resposta

integral raiz4x,ln(x),dx = 43x^3/2ln(x) - 89x^3/2 + C

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