Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
x^2+y^2=2 e z=4 orientada de modo que y aumenta no primeiro octante.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem duas superfícies: o cilindro descrito por x^2+y^2=2 e o plano z=4. A interseção delas vai ser uma curva no espaço, e o que precisamos é parametrizar essa curva respeitando a orientação tal que, quando estamos no primeiro octante, o valor de y esteja aumentando.

Passo 2

Geometricamente, a interseção de x^2+y^2=2 com z=4 é um círculo de raio raiz2 no plano horizontal z=4. A curva é homogênea ao círculo padrão no plano xy, mas deslocado para a altura z=4.

Passo 3

Para parametrizar um círculo de raio raiz2 no plano z=4, a gente usa coordenadas polares no plano xy:
x=raiz2cos t, y=raiz2sin t
Como queremos o plano z=4, basta tomar z=4 constante.

Passo 4

Agora falta ajustar a orientação para que, no primeiro octante (ou seja, quando ambos x e y são positivos), a componente y esteja crescendo. Se a gente escolher
r(t)=l(raiz2cos t,,raiz2sin t,,4r),
e deixar t variando de 0 a 2pi, então no instante t=0 temos um ponto em (raiz2,0,4) e
ddtl(raiz2sin tr)l|t=0=raiz2cos0=raiz2>0,
ou seja, y está aumentando logo no início, como pedido.

Passo 5

Portanto, a parametrização final da curva é dada por

Resposta

r(t)=l(raiz2cos t,,raiz2sin t,,4r), tin[0,2pi].

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