Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.] e orientada de modo que aumenta no primeiro octante.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem duas superfícies: o cilindro descrito por e o plano . A interseção delas vai ser uma curva no espaço, e o que precisamos é parametrizar essa curva respeitando a orientação tal que, quando estamos no primeiro octante, o valor de esteja aumentando.
Passo 2
Geometricamente, a interseção de com é um círculo de raio no plano horizontal . A curva é homogênea ao círculo padrão no plano , mas deslocado para a altura .
Passo 3
Para parametrizar um círculo de raio no plano , a gente usa coordenadas polares no plano :
Como queremos o plano , basta tomar constante.
Passo 4
Agora falta ajustar a orientação para que, no primeiro octante (ou seja, quando ambos e são positivos), a componente esteja crescendo. Se a gente escolher
e deixar variando de 0 a , então no instante temos um ponto em e
ou seja, y está aumentando logo no início, como pedido.
Passo 5
Portanto, a parametrização final da curva é dada por