Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=0^infty raiz[n]2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyraiz[n]2
Esse tipo de série tem termos gerais an=raiz[n]2=2^1/n. Para verificar se ela converge ou diverge, vamos usar o teste da divergência (ou teste do termo geral), que diz que se
limntoinftyanneq 0,
então a série diverge.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
limntoinftyan=limntoinfty2^1/n
Como 2^1/n=e^ln(2)/n, temos
limntoinfty2^1/n =e^limntoinftyln(2)n =e^0 =1

Passo 3

Vimos que
limntoinftyan=1neq 0
Pelo teste da divergência, como o termo geral não tende a zero, a série
sumn=1^inftyraiz[n]2
é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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