Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty sen(1n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftysinl(tfrac1nr)
é convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos (a partir de certo n), e vamos usar o teste da comparação limite aproveitando a expansão assintótica de sin x quando xto0.

Passo 2

Para x pequeno vale a aproximação pela série de Taylor de primeira ordem:
sin x = x - x^36 + o(x^3) Longrightarrow sin x sim x (quando xto0)
Substituindo x = tfrac1n, obtemos
sinl(tfrac1nr)sim tfrac1n (quando ntoinfty)

Passo 3

Use o teste da comparação pelo limite. Defina
an = sinl(tfrac1nr), bn = tfrac1n
Então
limntoinftyanbn =limntoinftysin(1/n)1/n =1(não nulo e finito) ã
Como a série harmônica
sumn=1^infty bn =sumn=1^infty 1n
é divergente, pelo teste da comparação limite a série com an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftysinl(tfrac1nr) é divergente.

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