Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral cos ^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos^3(x),dx
usando o método de integração por partes. Para isso, precisamos lembrar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e escolher funções u e dv de modo conveniente.

Passo 2

Definimos
I = integral cos^3(x),dx
Reescrevemos cos^3(x) como cos^2(x),cos(x) e escolhemos
u = cos^2(x), dv = cos(x),dx
Então
du = ddxl(cos^2(x)r),dx = -2cos(x)sin(x),dx, v = integral cos(x),dx = sin(x)

Passo 3

Aplicando integração por partes,
I = integral u,dv = u,v - integral v,du = cos^2(x),sin(x) - integral sin(x),l(-2cos(x)sin(x)r),dx
Isto é,
I = cos^2(x),sin(x) + 2 integral sin^2(x)cos(x),dx
Agora note que sin^2(x)=1-cos^2(x), então
integral sin^2(x)cos(x),dx = integral l(1-cos^2(x)r)cos(x),dx = integral cos(x),dx - integral cos^3(x),dx = sin(x) - I
Substituindo em I, obtemos
I = cos^2(x),sin(x) + 2l(sin(x) - Ir) = cos^2(x),sin(x) + 2sin(x) - 2I

Passo 4

Isolamos I em ambos os lados:
I + 2I = 3I = cos^2(x),sin(x) + 2sin(x) = sin(x)l(cos^2(x) + 2r)
Como cos^2(x)=1-sin^2(x), temos cos^2(x)+2=3-sin^2(x), logo
3I = sin(x)l(3 - sin^2(x)r) Longrightarrow I = sin(x) - sin^3(x)3 + C

Resposta

boxedintegral cos^3(x),dx = sin(x) - sin^3(x)3 + C

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