Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 11+raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 11+raizn
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas, e vamos usar o teste da comparação (ou comparação assimptótica) com uma série do tipo p-série.

Passo 2

Observamos o comportamento de 11+raizn para n grande. Como raizn domina o termo constante, temos
11+raiznsim1raizn
Isso sugere comparar com a p-série sum 1/n^1/2, que diverge pois p=tfrac12<=1.

Passo 3

Para formalizar pelo teste da comparação, note que para todo n>=1 vale
1+raizn<= 2raizn Longrightarrow 11+raizn>= 12raizn
Como sabemos que
sumn=1^infty12raizn =12sumn=1^infty1n^1/2
é divergente (p-série com p=tfrac12), então pela comparação direta a série original também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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