Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
e
orientada de modo que
aumenta no primeiro octante.
Passo 1
A curva é a interseção das superfícies
(um paraboloide) e
(um cilindro de raio
). O conteúdo aqui é parametrização de curvas em
, reconhecendo geometricamente que a interseção é um círculo e depois ajustando a orientação.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
. Logo a interseção é o círculo de raio
no plano
, isto é,
.
Passo 3
Uma parametrização padrão desse círculo seria
Porém a orientação exigida é que, no primeiro octante (
), a coordenada
aumente conforme o parâmetro cresce. Para a parametrização acima temos
logo ela aponta no sentido oposto daquele pedido. Em vez disso, trocamos seno e cosseno:
Passo 4
Agora
então essa parametrização respeita a orientação solicitada.
Resposta
A função vetorial é