Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
z=x^2+y^2 e x^2+y^2=5 orientada de modo que x aumenta no primeiro octante.

Passo 1

A curva é a interseção das superfícies z=x^2+y^2 (um paraboloide) e x^2+y^2=5 (um cilindro de raio raiz5). O conteúdo aqui é parametrização de curvas em R^3, reconhecendo geometricamente que a interseção é um círculo e depois ajustando a orientação.

Passo 2

Substituindo x^2+y^2=5 em z=x^2+y^2 obtemos z=5. Logo a interseção é o círculo de raio raiz5 no plano z=5, isto é, (x,y,z):x^2+y^2=5,;z=5.

Passo 3

Uma parametrização padrão desse círculo seria
r(theta)=(raiz5costheta,;raiz5sintheta,;5), 0<=theta<2pi
Porém a orientação exigida é que, no primeiro octante ( 0<theta<tfracpi2), a coordenada x aumente conforme o parâmetro cresce. Para a parametrização acima temos
dxdtheta=-raiz5sintheta<0(0<theta<tfracpi2),
logo ela aponta no sentido oposto daquele pedido. Em vez disso, trocamos seno e cosseno:

Passo 4

r(theta)=(raiz5sintheta,;raiz5costheta,;5), 0<=theta<2pi
Agora
dxdtheta=raiz5costheta>0(0<theta<tfracpi2),
então essa parametrização respeita a orientação solicitada.

Resposta

A função vetorial é
r(theta)=(raiz5sintheta,;raiz5costheta,;5), 0<=theta<2pi

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