Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral operatornamecosec^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral csc^3(x),dx usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e usar a identidade trigonométrica cot^2(x)=csc^2(x)-1.

Passo 2

Definimos
u = csc(x), dv = csc^2(x),dx
Então
du = -csc(x)cot(x),dx, v = integral csc^2(x),dx = -cot(x)

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral csc^3(x),dx = u,v - integral v,du = -csc(x)cot(x) - integral l(-cot(x)r)l(-csc(x)cot(x)r),dx
Isso vira
integral csc^3(x),dx = -csc(x)cot(x) - integral csc(x)cot^2(x),dx

Passo 4

Usando cot^2(x)=csc^2(x)-1, temos
integral csc(x)cot^2(x),dx = integral l(csc^3(x)-csc(x)r),dx = integral csc^3(x),dx - integral csc(x),dx
Seja I=integral csc^3(x),dx. Então
I = -csc(x)cot(x) - l(I - integral csc(x),dxr) Longrightarrow 2I = -csc(x)cot(x) + integral csc(x),dx

Passo 5

Sabemos que
integral csc(x),dx = -lnllvertcsc(x)+cot(x)rrvert + C
Substituindo em 2I e dividindo por 2, obtemos
integral csc^3(x),dx = -tfrac12,csc(x)cot(x) - tfrac12,lnllvertcsc(x)+cot(x)rrvert + C

Resposta

boxed integral csc^3(x),dx = -tfrac12,csc(x)cot(x) - tfrac12,lnllvertcsc(x)+cot(x)rrvert + C

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