Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
z=raizx^2+y^2 e y=x orientada de modo que ao se parametrizar (x(t), y(t)) tem-se (x, y) se afastando da origem (0,0) para valores crescentes de t.

Passo 1

No enunciado, queremos achar a parametrização da curva obtida pela interseção das superfícies z=raizx^2+y^2 (o cone superior) e y=x (o plano), com orientação tal que o ponto (x,y) se afaste da origem conforme t cresce.

Passo 2

Geometricamente, a interseção de um cone com um plano que passa pela sua aresta é uma reta. Como consideramos apenas o cone superior z=raizx^2+y^2, obtemos uma semirreta contida no plano y=x.

Passo 3

Substituindo y=x em z=raizx^2+y^2, vem
z=raizx^2+x^2=raiz2x^2=raiz2,|x|.

Passo 4

Para garantir que (x,y) se afaste da origem quando t cresce, escolhemos x=t com t>=0. Então y=t e z=raiz2,t.

Passo 5

Daí a função vetorial é
r(t)=(t,,t,,raiz2,t), t>=0

Resposta

r(t)=(t,t,raiz2,t), t>=0

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