Encontre a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies dadas a seguir. [Sugestão: Identifique geometricamente a forma da curva pela análise da interseção das superfícies. Uma vez reconhecida a curva, parametrize-a de modo a respeitar a orientação dada. Note que mais de uma parametrização é possível.]
e
orientada de modo que ao se parametrizar
tem-se
se afastando da origem
para valores crescentes de
.
Passo 1
No enunciado, queremos achar a parametrização da curva obtida pela interseção das superfícies
(o cone superior) e
(o plano), com orientação tal que o ponto
se afaste da origem conforme
cresce.
Passo 2
Geometricamente, a interseção de um cone com um plano que passa pela sua aresta é uma reta. Como consideramos apenas o cone superior
, obtemos uma semirreta contida no plano
.
Passo 3
Substituindo
em
, vem
Passo 4
Para garantir que
se afaste da origem quando
cresce, escolhemos
com
. Então
e
.
Passo 5
Daí a função vetorial é