Resolva para x : (aqui log x=log 10 x )
log (x^2-4)-2 log (x-2)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver
logl(x^2-4r);-;2,log(x-2);=;2
onde log é o logaritmo de base 10. O conteúdo envolvido é propriedade de logaritmos (diferença de logs e log de potência) e domínio de definição.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo que os argumentos dos logaritmos sejam positivos:
x^2-4>0Longrightarrow x>2;ou;x<-2,
x-2>0Longrightarrow x>2
A interseção é x>2.

Passo 3

Usamos as propriedades
log A - log B = logAB
e
2log(x-2)=logl((x-2)^2r).
Assim
log(x^2-4);-;2log(x-2) =logl(x^2-4r);-;logl((x-2)^2r) =log!l(x^2-4(x-2)^2r)
A equação vira
log!l(x^2-4(x-2)^2r)=2

Passo 4

Exponenciando em base 10:
x^2-4(x-2)^2=10^2=100
Como x^2-4=(x-2)(x+2), temos
(x-2)(x+2)(x-2)^2 =x+2x-2=100
Multiplicando:
x+2=100(x-2);Longrightarrow;x+2=100x-200;Longrightarrow;99x=202;Longrightarrow;x=20299
Verificando o domínio, tfrac20299approx2,04>2, é aceitável.

Resposta

x=20299

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