Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral e^2 x cos (x3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral e^2xcos!l(x3r),dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
duas vezes, criando uma equação para I que possamos resolver.

Passo 2

Definimos
I = integral e^2xcos!l(x3r),dx
Escolhemos
u = cos!l(x3r), dv = e^2x,dx
para a primeira aplicação de partes. Então
du = -13sin!l(x3r),dx, v = 12e^2x
Isso dá
I = e^2x2cos!l(x3r) - integral e^2x2l(-tfrac13sin!l(tfracx3r)r),dx = e^2x2cos!l(x3r) + 16integral e^2xsin!l(x3r),dx
Chamemos
J = integral e^2xsin!l(tfracx3r),dx
Assim
I = e^2x2cos!l(x3r) + 16J

Passo 3

Agora calculamos
J = integral e^2xsin!l(tfracx3r),dx
também por partes, escolhendo
u = sin!l(x3r), dv = e^2x,dx
Então
du = 13cos!l(x3r),dx, v = 12e^2x
Aplica partes:
J = e^2x2sin!l(x3r) - integral e^2x2cdot13cos!l(x3r),dx = e^2x2sin!l(x3r) - 16integral e^2xcos!l(x3r),dx
Reconhecemos a última integral como I, logo
J = e^2x2sin!l(x3r) - 16I

Passo 4

Voltamos para a expressão de I:
I = e^2x2cos!l(x3r) + 16J = e^2x2cos!l(x3r) + 16l(e^2x2sin!l(tfracx3r) - 16Ir)
Distribuindo e somando tfrac136I dos dois lados:
I = e^2x2cos!l(x3r) + e^2x12sin!l(x3r) - 136I ;Longrightarrow; I + 136I = e^2x2cos!l(x3r) + e^2x12sin!l(x3r)
Logo
3736I = e^2xl(tfrac12cos!l(tfracx3r) + tfrac112sin!l(tfracx3r)r) ;Longrightarrow; I = 3637,e^2xl(tfrac12cos!l(tfracx3r) + tfrac112sin!l(tfracx3r)r)

Resposta

integral e^2xcos!l(x3r),dx = e^2x37l(18cos!tfracx3 + 3sin!tfracx3r) + C

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