Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
r(t)=|t| i+t j+t k

Passo 1

A questão dá a parametrização vec r(t)=|t|,vec i + t,vec j + t,vec k e pede para classificar como suave, suave por parte (piecewise smooth) ou nenhuma das duas. O conteúdo é análise de suavidade de curvas em R^3, ou seja, estudar a derivada e sua continuidade.

Passo 2

Para verificar suavidade, precisamos calcular a derivada vec r,'(t) e ver se ela existe, é contínua e não nula no domínio todo. Note que |t| é uma função que troca de expressão em t=0.

Passo 3

Para t>0, temos |t|=t, logo
vec r,'(t)=(1,1,1)(t>0)
Para t<0, temos |t|=-t, logo
vec r,'(t)=(-1,1,1)(t<0) Em cada um desses intervalos a derivada existe, é constante (logo contínua) e seu módulo é raiz(-1)^2+1^2+1^2=raiz3>0.

Passo 4

No ponto t=0, a derivada por definição de |t| não é única (o limite lateral à direita é (1,1,1) e à esquerda é (-1,1,1)), ou seja, vec r,'(0) não existe e a derivada não é contínua em 0.

Passo 5

Concluímos que a curva não é suave em todo o R, mas pode ser vista como duas curvas suaves em ( -infty,0) e (0,infty). Portanto, a parametrização é suave por partes.

Resposta

Suave por partes.

Exercícios relacionados