Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
Passo 1
A questão dá a parametrização
e pede para classificar como suave, suave por parte (piecewise smooth) ou nenhuma das duas. O conteúdo é análise de suavidade de curvas em
, ou seja, estudar a derivada e sua continuidade.
Passo 2
Para verificar suavidade, precisamos calcular a derivada
e ver se ela existe, é contínua e não nula no domínio todo. Note que
é uma função que troca de expressão em
.
Passo 3
Para
, temos
, logo
Para
, temos
, logo
Passo 4
No ponto
, a derivada por definição de
não é única (o limite lateral à direita é
e à esquerda é
), ou seja,
não existe e a derivada não é contínua em
.
Passo 5
Concluímos que a curva não é suave em todo o
, mas pode ser vista como duas curvas suaves em
e
. Portanto, a parametrização é suave por partes.
Resposta
Suave por partes.