Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=1raizn^2+1-raizn

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência xn = 1raizn^2+1 - raizn e pede pra gente ver se ela converge ou diverge. O assunto aqui é sucessões e limite de sequência. Pra encontrar o limite, vamos precisar usar a técnica de racionalização de denominador, que é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado.

Passo 2

Vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raizn^2+1 + raizn:
xn = 1raizn^2+1 - raizn ;cdot; raizn^2+1 + raiznraizn^2+1 + raizn = raizn^2+1 + raizn(raizn^2+1)^2 - (raizn)^2 = raizn^2+1 + raiznn^2 + 1 - n

Passo 3

Agora a gente quer ver o que acontece quando ntoinfty. Para isso, dividimos numerador e denominador por n:
xn = raizn^2+1 + raiznn^2 - n + 1 = raizn^2+1n + raiznnn^2n - nn + 1n = raiz1 + 1/n^2 + n^-1/2n - 1 + 1/n
Na expressão acima, raiz1 + 1/n^2to1, n^-1/2to0 e o denominador n - 1 + 1/ntoinfty.

Passo 4

Como o numerador tende a 1 + 0 = 1 e o denominador tende a infinito, a fração toda vai para zero. Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

Exercícios relacionados