Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral(3 x^2+6 x-1)^4(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral l(3x^2+6x-1r)^4(x+1),dx
usando o método da substituição. Vamos identificar uma parte da função cujo diferencial apareça multiplicado por outra parte do integrando.

Passo 2

Observe que 3x^2+6x-1 é uma expressão que, ao derivar, produz algo proporcional a x+1. Então fazemos a substituição
u = 3x^2+6x-1
Derivando em relação a x, temos
du = (6x+6),dx = 6(x+1),dx
e portanto
(x+1),dx = du6

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral l(3x^2+6x-1r)^4(x+1),dx = integral u^4,du6 = 16integral u^4,du

Passo 4

Agora é só integrar u^4.
integral u^4,du = u^55 + C
Multiplicando pelo fator tfrac16, fica
16cdotu^55 + C = u^530 + C

Resposta

integral l(3x^2+6x-1r)^4(x+1),dx = l(3x^2+6x-1r)^530 + C

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