) Questão.
Calcule o valor da expressão
.
Calcule o valor da expressão
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da torre infinita de potências
que é um exemplo de potência iterada (tetration). Para resolver, vamos representar essa torre por uma sequência e estudar sua convergência.
Passo 2
Definimos a sequência
por
Assim,
é a aproximação da torre de altura
. Queremos calcular
Passo 3
Mostramos que
é crescente e limitada acima por
.
Primeiro, . Supondo
, então
Primeiro,
logo
.
Para a monotonicidade, como a função é crescente, temos
Para a monotonicidade, como a função
Portanto,
é crescente e limitada acima, o que garante convergência.
Passo 4
Seja
Tomando limite na relação de recorrência, vem
ou seja,
satisfaz a equação funcional
Passo 5
Para resolver
, basta testar
:
logo
é solução. Nas condições do problema essa é a única solução positiva, então
Resposta
O valor da expressão infinita é
.