6^circ ) Questão.
Calcule o valor da expressão raiz2^raiz2^raiz2 ldots.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da torre infinita de potências
raiz2^raiz2^raiz2^ldots,
que é um exemplo de potência iterada (tetration). Para resolver, vamos representar essa torre por uma sequência e estudar sua convergência.

Passo 2

Definimos a sequência (an) por
a1 = raiz2,
an+1 = raiz2^,an
Assim, an é a aproximação da torre de altura n. Queremos calcular
limntoinftyan

Passo 3

Mostramos que (an) é crescente e limitada acima por 2.
Primeiro, a1=raiz2<2. Supondo an<2, então
an+1 = 2^tfracan2 < 2^tfrac22 = 2,
logo an+1<2.
Para a monotonicidade, como a função xmapsto2^x/2 é crescente, temos
an+1 = 2^tfracan2 > 2^tfracan-12 = an
Portanto, (an) é crescente e limitada acima, o que garante convergência.

Passo 4

Seja
L = limntoinftyan
Tomando limite na relação de recorrência, vem
L = raiz2^,L,
ou seja, L satisfaz a equação funcional
L = 2^L/2

Passo 5

Para resolver L = 2^L/2, basta testar L=2:
2^2/2 = 2^1 = 2,
logo L=2 é solução. Nas condições do problema essa é a única solução positiva, então
L = 2

Resposta

O valor da expressão infinita é 2.

Exercícios relacionados