Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral cos (x) cdot raizpi^2 sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos(x),raizpi^2,sin(x),dx
usando o método da substituição. O conteúdo principal é reconhecer que cos(x),dx é a diferencial de sin(x) e que podemos tratar a raiz como potência de sin(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sin(x), du = cos(x),dx
Dentro da raiz temos
raizpi^2,sin(x) = raizpi^2,u = pi,u^1/2
Logo, a integral original se transforma em
integral cos(x),raizpi^2,sin(x),dx = pi integral u^1/2,du

Passo 3

Para integrar u^1/2, usamos
integral u^alpha,du = u^alpha+1alpha+1,
aqui com alpha = tfrac12:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23,u^3/2
Multiplicando por pi, obtemos
pi cdot 23,u^3/2 = 2pi3,u^3/2

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = sin(x). Portanto a antiderivada é
2pi3,l(sin(x)r)^3/2 + C

Resposta

2pi3,l(sin(x)r)^3/2 + C

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