Determine os valores inteiros de x e y que satisfazem a equação 2^x+1+2^x= 3^y+2-3^y.

Passo 1

O enunciado pede os inteiros x e y que satisfazem
2^x+1+2^x=3^y+2-3^y
O conteúdo é equação exponencial em inteiros; vamos usar fatoração e unicidade da fatoração em primos.

Passo 2

Fatoremos cada lado. No lado esquerdo,
2^x+1+2^x=2^xl(2+1r)=3cdot2^x
No lado direito,
3^y+2-3^y=3^yl(3^2-1r)=3^ycdot8=8cdot3^y

Passo 3

A equação fica
3cdot2^x=8cdot3^y
Reescrevendo para isolar potências de primos, divida ambos os lados por 3cdot2^y:
2^x,3^1-y=2^3

Passo 4

Pela unicidade da fatoração, igualamos expoentes de cada primo:
- Para o primo 2: x=3.
- Para o primo 3: 1-y=0Rightarrow y=1.
Verificação rápida:
2^3+1+2^3=16+8=24, 3^1+2-3^1=27-3=24

Resposta

x=3,;y=1.

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