Sobre a curva parametrizada por e , determine:
[a.] A reta tangente quando .
[b.] Os pontos cuja reta tangente é horizontal.
[c.] Esta curva possui reta tangente vertical em algum ponto?
[d.] As regiões onde a concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede (a) a reta tangente em , (b) os pontos de reta tangente horizontal, (c) se há reta tangente vertical, (d) regiões de concavidade. Vamos usar derivadas paramétricas e a fórmula da segunda derivada em função de .
Passo 2
Calculamos as derivadas em relação a :
A inclinação da reta tangente é
Para simplifica-se para
Passo 3
Para temos
e a inclinação
Logo a reta tangente em (8,-2) é
y+2=-32(x-8),
ou seja
y=-32x+10
Passo 4
Reta tangente horizontal ocorre quando tfracdydt=0 mas tfracdxdtneq0. Daí 3(t-1)(t+1)=0 dá t=pm1. Em t=1 também tfracdxdt=0, então esse ponto é singular e não é horizontal. Fica só t=-1, com
x(-1)=1+2=3, y(-1)=-1+3=2,
logo reta horizontal em (3,2).
Reta vertical precisaria tfracdxdt=0 e tfracdydtneq0. Mas em t=1 temos tfracdxdt=0 e tfracdydt=0, portanto não há reta vertical.
Assim d^2ydx^2>0 para t-1>0 (isto é, t>1), indicando concavidade para cima, e d^2ydx^2<0 para t<1, indicando concavidade para baixo.
Resposta
(a) y=-tfrac32x+10.
(b) Tem-se reta tangente horizontal apenas em (3,2).
(c) Não há reta tangente vertical.
(d) Concavidade para cima se t>1 e para baixo se t<1.