1. Sobre a curva parametrizada por x=t^2-2 t e y=t^3-3 t, determine:
    [a.] A reta tangente quando t=-2.
    [b.] Os pontos cuja reta tangente é horizontal.
    [c.] Esta curva possui reta tangente vertical em algum ponto?
    [d.] As regiões onde a concavidade é para cima ou para baixo.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=t^2-2t, y(t)=t^3-3t
e pede (a) a reta tangente em t=-2, (b) os pontos de reta tangente horizontal, (c) se há reta tangente vertical, (d) regiões de concavidade. Vamos usar derivadas paramétricas e a fórmula da segunda derivada em função de t.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=2t-2=2(t-1), dydt=3t^2-3=3(t-1)(t+1)
A inclinação da reta tangente é
dydx =dydtdxdt =3(t-1)(t+1)2(t-1)
Para tneq1 simplifica-se para
dydx=32(t+1)

Passo 3

Para t=-2 temos
x(-2)=(-2)^2-2(-2)=4+4=8, y(-2)=(-2)^3-3(-2)=-8+6=-2,
e a inclinação
m=dydx|t=-2 =32(-2+1)=32(-1)=-32
Logo a reta tangente em (8,-2) é
y+2=-32(x-8),
ou seja
y=-32x+10

Passo 4

Reta tangente horizontal ocorre quando tfracdydt=0 mas tfracdxdtneq0. Daí 3(t-1)(t+1)=0 t=pm1. Em t=1 também tfracdxdt=0, então esse ponto é singular e não é horizontal. Fica só t=-1, com
x(-1)=1+2=3, y(-1)=-1+3=2,
logo reta horizontal em (3,2).
Reta vertical precisaria tfracdxdt=0 e tfracdydtneq0. Mas em t=1 temos tfracdxdt=0 e tfracdydt=0, portanto não há reta vertical.

Passo 5

Para a concavidade usamos
d^2ydx^2 =ddtl(dydxr)dxdt =ddtl(tfrac32(t+1)r)2(t-1) =tfrac322(t-1) =34(t-1)
Assim d^2ydx^2>0 para t-1>0 (isto é, t>1), indicando concavidade para cima, e d^2ydx^2<0 para t<1, indicando concavidade para baixo.

Resposta

(a) y=-tfrac32x+10.
(b) Tem-se reta tangente horizontal apenas em (3,2).
(c) Não há reta tangente vertical.
(d) Concavidade para cima se t>1 e para baixo se t<1.

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