1. Considere a curva C definida por x(t)=cos ^3 t e y(t)=sin ^3 t, 0 <= t <= pi2.
    [a.] Encontre o comprimento da curva.
    [b.] Encontre a área da superfície gerada pela rotação de C em torno do eixo x.
    [c.] Sendo (barx, bary) o centróide de C, encontre bary.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
;x(t)=cos^3 t,;y(t)=sin^3 t, 0<= t<=pi/2.
Vamos precisar de três fórmulas:
a) comprimento de arco
L = integrala^b raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt,
b) área de superfície por rotação em torno do eixo x
S = 2pi integrala^b y(t),raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt,
c) coordenada bar y do centróide de um fio
bar y = 1Lintegrala^b y(t),raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas
dxdt = -3cos^2 t,sin t e
dydt = 3sin^2 t,cos t.
Logo
raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2 = raiz9cos^4 t,sin^2 t + 9sin^4 t,cos^2 t = 3sin t,cos t

Passo 3

O comprimento da curva é
L = integral0^pi/23sin t,cos t,dt
Fazendo u=sin t, du=cos t,dt, vai de u(0)=0 a u(pi/2)=1:
L = 3integral0^1 u,du = 32

Passo 4

A área de superfície ao girar em torno de x é
S = 2pi integral0^pi/2 y(t),3sin t,cos t,dt = 6piintegral0^pi/2sin^4 t,cos t,dt
Com u=sin t, du=cos t,dt, o integral é integral0^1 u^4,du=1/5.
Logo
S = 6picdot15 = 6pi5

Passo 5

Para o centróide em y:
bar y = 1Lintegral0^pi/2y(t),3sin t,cos t,dt = 1tfrac32cdot3integral0^pi/2sin^4 t,cos t,dt = 23cdot3cdot15 = 25

Resposta

(a) 32
(b) 6pi5
(c) 25

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