Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral 8 d xx^2-6 x+9

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 8,dxx^2-6x+9
pelo método da substituição. Observe que o denominador é um quadrado perfeito:
x^2-6x+9=(x-3)^2

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 3, du = dx
Com isso a integral vira
integral 8,dx(x-3)^2 = integral 8,duu^2

Passo 3

Agora calculamos
integral 8,duu^2 =8integral u^-2du
Usando a fórmula integral u^ndu = u^n+1n+1 para nneq -1 (aqui n=-2), temos
8integral u^-2du =8cdotu^-1-1 =-8,u^-1

Passo 4

Voltando à variável original x com u=x-3, o resultado é
-8,(x-3)^-1+C
ou, equivalentemente,
-8x-3+C

Resposta

-8x-3+C

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