1. A curva x(t)=2 cos t-cos 2 t, y(t)=2 sin t-sin 2 t, 0 <= t <= pi, é rotacionada sobre o eixo x. Calcule a área da superfície de rotação.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
x(t)=2cos t-cos2t, y(t)=2sin t-sin2t, 0<= t<=pi,
e pede a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. O conteúdo é área de revolução, e a fórmula que vamos usar é
S=2piintegralt=a^t=by(t),raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t)=-2sin t+2sin2t, y'(t)=2cos t-2cos2t
Para simplificar, note que sin2t=2sin tcos t e cos2t=2cos^2t-1.

Passo 3

Agora
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =8l(1-cos tr) =16sin^2!l(tfrac t2r),
portanto
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =4sin!l(tfrac t2r),
já que em [0,pi] ,sin(t/2)>=0.

Passo 4

Também podemos escrever
y(t)=2sin t-sin2t =2sin t-2sin tcos t =4sin tsin^2!l(tfrac t2r) =8sin^3!l(tfrac t2r)cos!l(tfrac t2r)

Passo 5

Substituindo na fórmula de área:
S=2piintegral0^piy(t)cdot4sin!l(tfrac t2r),dt =8piintegral0^pi8sin^3!l(tfrac t2r)cos!l(tfrac t2r),sin!l(tfrac t2r),dt =64piintegral0^pisin^4!l(tfrac t2r)cos!l(tfrac t2r),dt

Passo 6

Fazemos a substituição u=sin(t/2), de modo que du=tfrac12cos(t/2),dt. Quando t vai de 0 a pi, u vai de 0 a 1. Assim
S=64piintegral0^1u^4cdot2,du =128piintegral0^1u^4,du =128pil[tfracu^55r]0^1 =128pi5

Resposta

128pi5

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