Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral x d xraiz[17]x^2-45

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xraiz[17]x^2-45,dx
usando o método da substituição. Aqui o truque é ver que a expressão x,dx aparece e está relacionada à derivada de x^2-45.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2-45
Diferenciando, obtemos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Em função de u, a raiz de décima sétima fica
raiz[17]x^2-45 = u^1/17,
portanto a integral original vira
integral xraiz[17]x^2-45,dx = integral 1u^1/17;du2 = 12integral u^-1/17,du

Passo 4

Para integrar a potência, usamos
integral u^a,du = u^a+1a+1+C
Aqui a = -tfrac117, então a+1 = tfrac1617. Assim,
12integral u^-1/17,du = 12;u^16/1716/17+C = 12cdot1716u^16/17+C = 1732u^16/17+C

Passo 5

Voltando a x, substituímos u = x^2-45 para obter a resposta final.

Resposta

integral xraiz[17]x^2-45,dx = 1732,(x^2-45)^16/17+C

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