Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral(e^x2+e^-x2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integrall(e^x2+e^-x2r)^2dx
usando o método da substituição. Vamos transformar essa integral em termos de uma nova variável para simplificar a expressão e então integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^x2,
assim
dt = tfrac12,e^x2dx = tfrac12,t,dx Longrightarrow dx = 2,dtt
Além disso,
e^-x2 = 1e^x2 = 1t

Passo 3

Substituindo na integral, temos
l(e^x2 + e^-x2r)^2 = l(t + tfrac1tr)^2 = t^2 + 2 + t^-2
E
dx = 2,dtt,
logo a integral vira
integral l(t^2 + 2 + t^-2r),2,dtt = 2integrall(t + 2t^-1 + t^-3r)dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
2integral t,dt = 2cdott^22 = t^2,
2integral 2t^-1dt = 4lnlvert trvert,
2integral t^-3dt = 2cdott^-2-2 = -,t^-2
Somando e voltando à variável x (lembre que t=e^x/2), obtemos
t^2 + 4lnlvert trvert - t^-2 + C = e^x + 4cdotx2 - e^-x + C = e^x + 2x - e^-x + C

Resposta

integrall(e^x2+e^-x2r)^2dx = e^x + 2x - e^-x + C

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