Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 5(23)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty5l(tfrac23r)^n-1.
O conteúdo envolvido é séries geométricas, para as quais usamos o teste de convergência via razão comum e a fórmula da soma.

Passo 2

Compare com a forma geral da série geométrica
sumn=1^inftya,r^,n-1.
Aqui identificamos
a = 5, r = tfrac23

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas é:
se lvert rrvert<1, a série converge; se lvert rrvert>=1, diverge.
Como llverttfrac23rrvert=tfrac23<1, concluímos que a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S = a1-r
Substituindo a=5 e r=tfrac23, temos
S = 51 - tfrac23 = 5tfrac13 = 15

Resposta

A série é convergente e sua soma é 15.

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