Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral x ln (x^2+4)x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,lnl(x^2+4r)x^2+4,dx
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois a derivada de x^2+4 aparece no numerador multiplicada por x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+4.
Então
du = 2x,dx
e consequentemente
x,dx = du2.
Substituindo na integral original, obtemos
integral x,lnl(x^2+4r)x^2+4,dx = integral ln(u)u,du2 = 12,integral ln(u)u,du

Passo 3

Agora calculamos
integral ln(u)u,du.
Observamos que a derivada de tfrac(ln(u))^22 é
ddu!l(tfrac(ln(u))^22r) = 2,ln(u)2cdot1u = ln(u)u
Logo
integral ln(u)u,du = (ln(u))^22 + C1

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u = x^2+4 e absorvendo C1 numa constante geral C, temos
12,integral ln(u)u,du = 12,(ln(u))^22 + C = (ln(u))^24 + C = l(ln(x^2+4)r)^24 + C

Resposta

boxedintegral x,lnl(x^2+4r)x^2+4,dx = l(ln(x^2+4)r)^24 + C

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