Encontre a antiderivada das funções abaixo. (Verifique sua resposta derivando.)
f(x)=cos (x)-5 sen(x)

Passo 1

O enunciado pede uma antiderivada de
f(x)=cos(x)-5sen(x),
ou seja, queremos uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Para isso usamos as integrais conhecidas de cos(x) e de sen(x).

Passo 2

Integramos o primeiro termo, cos(x). Sabemos que
integral cos(x),dx = sin(x) + C1

Passo 3

Agora o segundo termo, -5sen(x). Podemos tirar o fator -5 para fora da integral:
integral -5sen(x),dx = -5integral sen(x),dx = -5l(-cos(x)r) + C2 = 5cos(x) + C2

Passo 4

Somando as duas parcelas e juntando as constantes C1+C2 numa única constante C, obtemos
F(x)=sin(x)+5cos(x)+C
Para verificar, derivamos:
F'(x)=cos(x)-5sen(x)=f(x),
como desejado.

Resposta

F(x)=sin(x)+5cos(x)+C

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