Calcular as integrais indefinidas pelo método da substituição.
integral(3 x^2+1) cdot sen^3(x^3+x) cdot cos (x^3+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(3x^2+1r),sin^3l(x^3+xr),cosl(x^3+xr),dx
usando o método da substituição. Vamos identificar a parte interna cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Observe que se fizermos a substituição
t = x^3 + x,
então
dt = l(3x^2+1r),dx
Isso transforma exatamente o fator (3x^2+1),dx da integral.

Passo 3

Substituindo em termos de t, a integral fica
integral sin^3(t),cos(t),dt

Passo 4

Para integrar integral sin^3(t),cos(t),dt, fazemos nova substituição
u = sin(t),
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du = cos(t),dt
e a integral vira
integral u^3,du = u^44 + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais, u = sin(t) e t = x^3+x, obtemos
u^44 + C = sin^4l(x^3+xr)4 + C

Resposta

sin^4l(x^3+xr)4 + C

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