Utilize transformada de Laplace para resolver a equação
onde
e
sujeita às condições:
Utilize transformada de Laplace para resolver a equação
onde
e
sujeita às condições:
Utilize transformada de Laplace para resolver a equação
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei todas as informações do enunciado).
- Equação diferencial parcial (EDP):
- Condições de contorno/iniciais fornecidas:
-
Observação importante sobre uma ambiguidade no enunciado: está escrito
. Para poder determinar os constantes de integração ao resolver a EDP via transformada de Laplace geralmente precisamos de uma condição sobre o comportamento de
quando
(por exemplo
). Vou assumir a interpretação física/natural: a solução tende ao valor constante
à medida que
, ou seja
Se a intenção fosse outra (por exemplo condicionar apenas
no infinito), o procedimento muda um pouco — mas com a hipótese acima a resolução fica bem definida.
O objetivo: encontrar
usando transformada de Laplace no tempo.
Passo 2
Apresento a transformada de Laplace em
e as propriedades que usarei (explicando didaticamente).
- Definição da transformada de Laplace (em
, para cada fixo):
- Propriedade de derivada no tempo (essencial aqui): se
é a transformada de , então
Vou aplicar a transformada de Laplace à EDP, tratando
como parâmetro (a transformada é feita apenas em
). As derivadas em
permanecem como derivadas em
da transformada:
Agora uso as condições iniciais:
e
. Aplicando a Laplace em
obtemos:
Rearranjando, obtemos uma equação diferencial ordinária (EDO) em
para
:
Passo 3
Resolver a EDO em
:
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro resolvemos a homogênea
cuja equação característica é
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes de integração (dependendo de
).
Agora uma solução particular da equação completa: como o termo do lado direito é constante em
, tentamos uma solução particular constante
. Substituindo:
Logo a solução geral da EDO é
Passo 4
Determinar as constantes
e
usando condições (comento cada passo).
- Condição no infinito (assunção feita no Passo 1):
. Em termos da transformada, para é razoável exigir que não exploda quando . O termo explode para (pois no domínio de Laplace), então para que seja física e compatível com comportamento limite devemos ter
Assim
- Condição na fronteira
: Transformando em :
onde
. Calcule
a partir da solução:
Em
:
Logo
Substituindo em
obtemos a transformada final:
Passo 5
Inversão da transformada e uso das propriedades de Laplace para escrever
explicitamente.
Temos
A inversa da primeira parcela é imediata:
(constante no tempo). Para a segunda parcela uso duas propriedades:
- Propriedade 1 (integração/convolução):
, onde . Assim
- Propriedade 2 (retardamento / deslocamento no tempo): se
, então
onde
é a função degrau de Heaviside. Aqui
(observe que a constante de retardamento é o próprio espaço
; fisicamente significa que o efeito na posição
proveniente da fronteira demora tempo
a propagar-se com velocidade
).
Aplicando essas duas propriedades, a inversa de
é
Portanto, voltando à solução no tempo:
Interpretação prática (útil para prova): para
o argumento do degrau é negativo e
, logo
Isto significa que a condição na fronteira
só influencia o ponto
após tempo
(velocidade de propagação 1). Para
,
Passo 6
Verificações e um exemplo simples para fixar a ideia.
-
Verificação rápida: em [t=0) temos
e então , compatível com a condição inicial. A derivada temporal inicial é porque para pequenos a solução é constante; assim a condição também é satisfeita. -
Exemplo simples: se
(constante), então
Isso mostra um sinal intuitivo: a derivada espacial na fronteira constante gera uma “onda” linear no tempo que se propaga para dentro com velocidade 1.
Pronto — essa é a solução obtida pela transformada de Laplace e a explicação de como usar as propriedades necessárias (transformada de derivadas, condição de não explosionar em (x\to\infty], retardo de Heaviside e propriedade de integração).]
Resposta
onde
é a função degrau de Heaviside. Em particular,