Utilize transformada de Laplace para resolver a equação u_{x x}=u_{t t} onde x>0 e t>0 sujeita às condições:
Utilize transformada de Laplace para resolver a equação u_{x x}=u_{t t} onde x>0 e t>0 sujeita às condições:
u_{x}(0, t)=\nu(0, t), \lim _{x \rightarrow \infty} \nu(x, t)=u_{0}, u(x, 0)=u_{0}, u_{t}(x, 0)=0

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei todas as informações do enunciado).
  • Equação diferencial parcial (EDP): u_{x x}=u_{t t},\qquad x>0,\\ t>0.
  • Condições de contorno/iniciais fornecidas:
    • u_{x}(0,t)=\nu(0,t)\quad\text{(condição em }x=0\text{)}.çã
    • \lim_{x\to\infty}\nu(x,t)=u_{0}.
    • u(x,0)=u_{0}.
    • u_{t}(x,0)=0.
Observação importante sobre uma ambiguidade no enunciado: está escrito \lim_{x\to\infty}\nu(x,t)=u_{0}. Para poder determinar os constantes de integração ao resolver a EDP via transformada de Laplace geralmente precisamos de uma condição sobre o comportamento de u(x,t) quando x\to\infty (por exemplo u(x,t)\to u_0). Vou assumir a interpretação física/natural: a solução tende ao valor constante u_0 à medida que x\to\infty, ou seja
\lim_{x\to\infty} u(x,t)=u_{0}.
Se a intenção fosse outra (por exemplo condicionar apenas \nu no infinito), o procedimento muda um pouco — mas com a hipótese acima a resolução fica bem definida.
O objetivo: encontrar u(x,t) usando transformada de Laplace no tempo.

Passo 2

Apresento a transformada de Laplace em t e as propriedades que usarei (explicando didaticamente).
  • Definição da transformada de Laplace (em t, para cada x fixo):
\tilde{u}(x,s)=\mathcal{L}\{u(x,t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}u(x,t)\,dt, \qquad \text{para }\Re(s)>0.
  • Propriedade de derivada no tempo (essencial aqui): se \tilde{u}(x,s) é a transformada de u(x,t), então
\mathcal{L}\{u_{t}(x,t)\}=s\tilde{u}(x,s)-u(x,0),
\mathcal{L}\{u_{tt}(x,t)\}=s^{2}\tilde{u}(x,s)-s\,u(x,0)-u_{t}(x,0).
Vou aplicar a transformada de Laplace à EDP, tratando x como parâmetro (a transformada é feita apenas em t). As derivadas em x permanecem como derivadas em x da transformada:
\mathcal{L}\{u_{xx}(x,t)\}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\tilde{u}(x,s)=\tilde{u}_{xx}(x,s).
Agora uso as condições iniciais: u(x,0)=u_{0} e u_{t}(x,0)=0. Aplicando a Laplace em \,u_{xx}=u_{tt}\, obtemos:
\tilde{u}_{xx}(x,s)=s^{2}\tilde{u}(x,s)-s\,u_{0}-0.
Rearranjando, obtemos uma equação diferencial ordinária (EDO) em x para \tilde{u}:
\tilde{u}_{xx}(x,s)-s^{2}\tilde{u}(x,s)=-s\,u_{0}.

Passo 3

Resolver a EDO em x:
\tilde{u}_{xx}-s^{2}\tilde{u}=-s\,u_{0}.
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro resolvemos a homogênea
\tilde{u}_{xx}-s^{2}\tilde{u}=0,
cuja equação característica é r^{2}-s^{2}=0\Rightarrow r=\pm s. Assim a solução geral da homogênea é
\tilde{u}_{h}(x,s)=A(s)e^{s x}+B(s)e^{-s x},
onde A(s) e B(s) são constantes de integração (dependendo de s).
Agora uma solução particular da equação completa: como o termo do lado direito é constante em x, tentamos uma solução particular constante C(s). Substituindo:
0 - s^{2}C(s) = -s\,u_{0}\quad\Rightarrow\quad C(s)=\frac{u_{0}}{s}.
Logo a solução geral da EDO é
\tilde{u}(x,s)=A(s)e^{s x}+B(s)e^{-s x}+\frac{u_{0}}{s}.

Passo 4

Determinar as constantes A(s) e B(s) usando condições (comento cada passo).
  1. Condição no infinito (assunção feita no Passo 1): \displaystyle\lim_{x\to\infty}u(x,t)=u_{0}. Em termos da transformada, para \Re(s)>0 é razoável exigir que \tilde{u}(x,s) não exploda quando x\to\infty. O termo A(s)e^{s x} explode para x\to\infty (pois \Re(s)>0 no domínio de Laplace), então para que \tilde{u} seja física e compatível com comportamento limite devemos ter
A(s)=0.
Assim
\tilde{u}(x,s)=B(s)e^{-s x}+\frac{u_{0}}{s}.
  1. Condição na fronteira x=0: u_{x}(0,t)=\nu(0,t). Transformando em s:
\tilde{u}_{x}(0,s)=\tilde{\nu}(0,s),
onde \tilde{\nu}(0,s)=\mathcal{L}\{\nu(0,t)\}(s). Calcule \tilde{u}_x a partir da solução:
\tilde{u}_{x}(x,s)= -s\,B(s)e^{-s x}+0.
Em x=0:
\tilde{u}_{x}(0,s)=-s\,B(s)=\tilde{\nu}(0,s).
Logo
B(s)=-\frac{\tilde{\nu}(0,s)}{s}.
Substituindo em \tilde{u} obtemos a transformada final:
\tilde{u}(x,s)=-\frac{\tilde{\nu}(0,s)}{s}e^{-s x}+\frac{u_{0}}{s}.

Passo 5

Inversão da transformada e uso das propriedades de Laplace para escrever u(x,t) explicitamente.
Temos
\tilde{u}(x,s)=\frac{u_{0}}{s}-\frac{\tilde{\nu}(0,s)}{s}e^{-s x}.
A inversa da primeira parcela é imediata: \mathcal{L}^{-1}\{u_{0}/s\}=u_{0} (constante no tempo). Para a segunda parcela uso duas propriedades:
  • Propriedade 1 (integração/convolução): \displaystyle \mathcal{L}\Big\{\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau\Big\}(s)=\frac{F(s)}{s}, onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Assim
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{\tilde{\nu}(0,s)}{s}\Big\}(t)=\int_{0}^{t}\nu(0,\tau)\,d\tau.
  • Propriedade 2 (retardamento / deslocamento no tempo): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde H(\cdot) é a função degrau de Heaviside. Aqui a=x (observe que a constante de retardamento é o próprio espaço x; fisicamente significa que o efeito na posição x proveniente da fronteira demora tempo x a propagar-se com velocidade 1).
Aplicando essas duas propriedades, a inversa de \dfrac{\tilde{\nu}(0,s)}{s}e^{-s x} é
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{\tilde{\nu}(0,s)}{s}e^{-s x}\Big\}(t) = \left(\int_{0}^{t-x}\nu(0,\tau)\,d\tau\right)H(t-x).
Portanto, voltando à solução no tempo:
u(x,t)=u_{0}-H(t-x)\int_{0}^{\,t-x}\nu(0,\tau)\,d\tau.
Interpretação prática (útil para prova): para t<x o argumento do degrau é negativo e H(t-x)=0, logo
u(x,t)=u_{0}\quad\text{se }t<x.
Isto significa que a condição na fronteira x=0 só influencia o ponto x após tempo t=x (velocidade de propagação 1). Para t\ge x,
u(x,t)=u_{0}-\int_{0}^{t-x}\nu(0,\tau)\,d\tau.

Passo 6

Verificações e um exemplo simples para fixar a ideia.
  • Verificação rápida: em [t=0) temos t<x e então u(x,0)=u_{0}, compatível com a condição inicial. A derivada temporal inicial é u_{t}(x,0)=0 porque para pequenos t<x a solução é constante; assim a condição u_{t}(x,0)=0 também é satisfeita.
  • Exemplo simples: se \nu(0,t)=c (constante), então
u(x,t)= \begin{cases} u_{0}, & t<x,\\[4pt] u_{0}-c\,(t-x), & t\ge x. \end{cases}
Isso mostra um sinal intuitivo: a derivada espacial na fronteira constante gera uma “onda” linear no tempo que se propaga para dentro com velocidade 1.
Pronto — essa é a solução obtida pela transformada de Laplace e a explicação de como usar as propriedades necessárias (transformada de derivadas, condição de não explosionar em (x\to\infty], retardo de Heaviside e propriedade de integração).]

Resposta

u(x,t)=u_{0}-H(t-x)\int_{0}^{\,t-x}\nu(0,\tau)\,d\tau,
onde H é a função degrau de Heaviside. Em particular,
u(x,t)=\begin{cases} u_{0}, & t<x,\\[4pt] u_{0}-\displaystyle\int_{0}^{t-x}\nu(0,\tau)\,d\tau, & t\ge x. \end{cases}]

Exercícios relacionados