Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é o produto de duas funções: uma função polinomial
e uma função logarítmica . - Não há restrição explícita sobre o domínio além do que a função natural do log exige (aqui
vale para todo , portanto domínio é todos os reais).
Passo 2
Identificar as partes para aplicar regras de derivação:
Definimos
Definimos
de modo que
.
Agora vamos lembrar a regra que nos permite derivar um produto.
Passo 3
Regra do produto (explicação didática):
Se e
são funções diferenciáveis, a derivada do produto é
Se
Isto significa: deriva-se a primeira função e multiplica-se pela segunda sem derivar, e soma-se a primeira sem derivar multiplicada pela derivada da segunda. Cada símbolo:
-
é a derivada de em relação a , -
é a derivada de em relação a , - o produto
e são somados.
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
:
Regra usada: a derivada de é
.
Aplicando com ,
Regra usada: a derivada de
Aplicando com
Explicando em palavras: para obter a derivada de um quadrado, multiplica-se pelo expoente e reduz-se o expoente em 1.
Passo 5
Derivada de
:
Aqui usamos duas ideias: a derivada do logaritmo natural e a regra da cadeia.
Aqui usamos duas ideias: a derivada do logaritmo natural e a regra da cadeia.
- Derivada do logaritmo natural: se
então
Isto vem da regra da cadeia: derivar
por sua parte externa e multiplicar pela derivada da parte interna
.
No nosso caso
. Então
. Portanto
Comentário: isso significa que a derivada do logaritmo de uma função é a derivada dessa função dividida pela própria função.
Passo 6
Aplicar a regra do produto juntando
:
Pela regra do produto
Pela regra do produto
Substituindo os valores que achamos:
Passo 7
Simplificar a expressão final (fator comum e forma alternativa):
Na expressão anterior podemos fatorar que aparece nos dois termos:
Na expressão anterior podemos fatorar
Esta é uma forma limpa e prática para usar em provas. Observação rápida: em
temos
, o que bate com a expressão (pois há um fator
).