Calcule as derivadas:
f(x)=x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{2}\cdot\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é o produto de duas funções: uma função polinomial x^{2} e uma função logarítmica \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
  • Não há restrição explícita sobre o domínio além do que a função natural do log exige (aqui x^{2}+1>0 vale para todo x, portanto domínio é todos os reais).

Passo 2

Identificar as partes para aplicar regras de derivação:
Definimos
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr),
de modo que f(x)=u(x)\,v(x).
Agora vamos lembrar a regra que nos permite derivar um produto.

Passo 3

Regra do produto (explicação didática):
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a derivada do produto é
( u v )' = u' v + u v'.
Isto significa: deriva-se a primeira função e multiplica-se pela segunda sem derivar, e soma-se a primeira sem derivar multiplicada pela derivada da segunda. Cada símbolo:
  • u' é a derivada de u em relação a x,
  • v' é a derivada de v em relação a x,
  • o produto u'v e uv' são somados.
Vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=x^{2}:
Regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
Aplicando com n=2,
u'(x)=2x.
Explicando em palavras: para obter a derivada de um quadrado, multiplica-se pelo expoente e reduz-se o expoente em 1.

Passo 5

Derivada de v(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr):
Aqui usamos duas ideias: a derivada do logaritmo natural e a regra da cadeia.
  • Derivada do logaritmo natural: se w(x)=\ln\!\bigl(g(x)\bigr) então
w'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Isto vem da regra da cadeia: derivar \ln por sua parte externa e multiplicar pela derivada da parte interna g(x).
No nosso caso g(x)=x^{2}+1. Então g'(x)=2x. Portanto
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Comentário: isso significa que a derivada do logaritmo de uma função é a derivada dessa função dividida pela própria função.

Passo 6

Aplicar a regra do produto juntando u',v,u,v':
Pela regra do produto
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores que achamos:
f'(x)=\bigl(2x\bigr)\cdot\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)+x^{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 7

Simplificar a expressão final (fator comum e forma alternativa):
Na expressão anterior podemos fatorar 2x que aparece nos dois termos:
f'(x)=2x\left(\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right).
Esta é uma forma limpa e prática para usar em provas. Observação rápida: em x=0 temos f'(0)=0, o que bate com a expressão (pois há um fator 2x).

Resposta

f'(x)=2x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{2x^{3}}{x^{2}+1}=2x\left(\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right).

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