Calcular as integrais indefinidas a seguir.
(b) I=integral arctan (2 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida
I = integral arctan(2x),dx
Conteúdo: integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e também, lá na frente, uma substituição simples para resolver a integral que sobrar.

Passo 2

Escolhemos as partes assim:
u = \arctan(2x),
dv = dx.
Por quê? Porque dá para derivar \arctan(2x) e integrar dx de forma fácil.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
v = \int dv = \int dx = x.
Para du, lembrando que
ddxl[arctan(t)r] = 11+t^2,dtdx,
aqui t = 2x, então
du = 11+(2x)^2cdot 2,dx = 21+4x^2,dx

Passo 4

Aplicando integração por partes:
I = integral u,dv = u,v - integral v,du = xarctan(2x) - integral xcdot 21+4x^2,dx
Ficou sobrando
integral 2x1+4x^2,dx.

Passo 5

Para integral 2x1+4x^2,dx fazemos a substituição
t = 1 + 4x^2,
dt = 8x,dx ⇒ 2x,dx = dt/4.
Então
integral 2x1+4x^2,dx = integral 14,dtt = 14lnlvert trvert + C = 14ln(1+4x^2) + C

Passo 6

Substituindo de volta em I:
I = xarctan(2x) - 14ln(1+4x^2) + C

Resposta

boxedI = xarctan(2x) - 14lnl(1+4x^2r) + C

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