Calcular as integrais indefinidas a seguir.
(b)
(b)
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral indefinida
Conteúdo: integração por partes. Vamos usar a fórmula
e também, lá na frente, uma substituição simples para resolver a integral que sobrar.
Passo 2
Escolhemos as partes assim:
u = \arctan(2x),
dv = dx.
Por quê? Porque dá para derivar \arctan(2x) e integrar dx de forma fácil.
u = \arctan(2x),
dv = dx.
Por quê? Porque dá para derivar \arctan(2x) e integrar dx de forma fácil.
Passo 3
Agora calculamos du e v:
v = \int dv = \int dx = x.
Para du, lembrando que
,
aqui t = 2x, então
v = \int dv = \int dx = x.
Para du, lembrando que
aqui t = 2x, então
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Ficou sobrando
.
Passo 5
Para
fazemos a substituição
t = 1 + 4x^2,
dt = 8x,dx ⇒ 2x,dx = dt/4.
Então
t = 1 + 4x^2,
dt = 8x,dx ⇒ 2x,dx = dt/4.
Então
Passo 6
Substituindo de volta em I: