Questão 4 - Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z)=(x z, y x, z y) sobre uma partícula que se move ao longo da curva r(t)=(t^2,-t^3, t^4) no intervalo [0,1].

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo de força F(x,y,z)=(xz,,yx,,zy) e a curva parametrizada por r(t)=(t^2,,-t^3,,t^4) para 0<= t<=1. O trabalho realizado é dado pela integral de linha
W=integral0^1F(r(t))cdot r'(t),dt
Para resolver, vamos (1) calcular r'(t), (2) obter F(r(t)), (3) fazer o produto escalar e (4) integrar de 0 a 1.

Passo 2

A derivada da parametrização é
r'(t)=ddt(t^2,,-t^3,,t^4)=(2t,,-3t^2,,4t^3)

Passo 3

Substituindo na força,
F(r(t)) =(x z,,y x,,z y)|(x,y,z)=(t^2,-t^3,t^4) =(t^2cdot t^4,;-t^3cdot t^2,;t^4cdot(-t^3)) =(t^6,,-t^5,,-t^7)
O produto escalar fica
F(r(t))cdot r'(t) = t^6cdot(2t)+(-t^5)cdot(-3t^2)+(-t^7)cdot(4t^3) =2t^7+3t^7-4t^10 =5t^7-4t^10

Passo 4

Agora integremos de 0 a 1:
W=integral0^1(5t^7-4t^10),dt =[58t^8-411t^11]0^1 =58-411 =2388

Resposta

2388

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