Calcular as integrais indefinidas a seguir.
I=integral arctan (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida I=integral arctan(2x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos a função composta arctan(2x) multiplicada por 1.

Passo 2

Escolhemos u=arctan(2x) e dv=dx. Então derivamos u e integramos dv:
du=21+4x^2,dx,
v=integral dx = x

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Assim obtemos:
integral arctan(2x),dx = xarctan(2x) - integral x cdot 21+4x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral 2x1+4x^2,dx, fazemos a substituição t=1+4x^2, logo dt=8x,dx, ou seja, 2x,dx=dt/4. Isso leva a:
integral 2x1+4x^2,dx = 14integral dtt = 14ln|t| + C = 14ln(1+4x^2) + C

Passo 5

Reunimos as partes e adicionamos a constante de integração.
integral arctan(2x),dx = xarctan(2x) - 14ln(1+4x^2) + C

Resposta

xarctan(2x) - 14ln(1+4x^2) + C

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