Decida se o campo vetorial F dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para F.
F(x, y, z)=(x-y, x+y+z, z^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = (,x - y,;x + y + z,;z^2)
é conservativo em R^3. Como o domínio natural aqui é simplesmente conexo, basta checar se o rotacional de F é o vetor zero. Se não for, não existe função potencial f.

Passo 2

Escrevemos
P(x,y,z) = x - y, Q(x,y,z) = x + y + z, R(x,y,z) = z^2
O rotacional de F é dado por
nablatimesF = l(,partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 3

Calculamos cada componente:
partial Rpartial y = partial (z^2)partial y = 0, partial Qpartial z = partial (x+y+z)partial z = 1,
partial Ppartial z = partial (x-y)partial z = 0, partial Rpartial x = partial (z^2)partial x = 0,
partial Qpartial x = partial (x+y+z)partial x = 1, partial Ppartial y = partial (x-y)partial y = -1
Logo
nablatimesF = l(0 - 1,;0 - 0,;1 - (-1)r) = (-1,;0,;2),
que não é o vetor nulo.

Resposta

F não é conservativo, pois nablatimesFneq 0, logo não existe função potencial f.

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