Questão xx. (2,5 pontos) Considere a EDO (2 x^2 y+y^3) d x+(x^2-2 x^3) d y=0. Determine a solução geral.
Como as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas e de mesmo grau, substituir: y=f x e d y=f d x+x d f
(2 x^2 f x+(f x)^3) d x+(x(f x)^2-2 x^3)(x d f+f d x)=0
d xx+f^2-2(2 f+f^3)+(f^3-2 f) d f=d xx+f^2-22 f^3 d f=C
integral d xx+12 integral 1f d f-integral 1f^3 d f=ln |x|+12 ln |f|+12 1f^2=C1
2 ln |x|+ln |yx|+(xy)^2=C2
ln |x y|+(xy)^2=C

Passo 1

Estamos diante da EDO (2x^2y+y^3),dx+(xy^2-2x^3),dy=0. Observa-se que M(x,y)=2x^2y+y^3 e N(x,y)=xy^2-2x^3 são homogêneas de grau 3. Quando isso acontece, usamos a substituição y=fx e dy=f,dx+x,df para reduzir a equação.

Passo 2

Substituindo y=fx e dy=f,dx+x,df na EDO, calculamos:
M,dx=(2x^2(fx)+(fx)^3),dx=(2f+f^3)x^3,dx,
N,dy=(x(fx)^2-2x^3)(f,dx+x,df)=x^3(f^3-2f),dx+x^4(f^2-2),df
Somando ambos e igualando a zero obtemos
2f^3x^3,dx+x^4(f^2-2),df=0

Passo 3

Para separar variáveis, dividimos por 2f^3x^3, chegando à forma
dxx+f^2-22f^3,df=0
Isso é uma EDO separável do tipo dxx+g(f),df=0.

Passo 4

Agora integramos cada termo:
integraldxx+integralf^2-22f^3,df= C
Escrevendo f^2-22f^3=12f-1f^3, temos
ln|x|+12ln|f|+12f^2=C1

Passo 5

Voltando à variável original f=yx, substituímos e simplificamos:
ln|x|+12lnl|yxr|+12l(xyr)^2=C1
Multiplicando por 2 e combinando logaritmos, obtemos
ln|xy|+l(xyr)^2=C

Resposta

ln|xy|+l(xyr)^2=C

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