Resolva implicitamente as seguintes derivadas:
tan (x y)+y^2=x

Passo 1

O enunciado dá a relação
tan(xy) + y^2 = x
e pede \emph{ dydx} usando derivação implícita. Para isso vamos precisar da regra da cadeia (para tan), da regra do produto (em xy) e da derivada de y^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • ddx[tan(xy)] = sec^2(xy),ddx(xy)
  • ddx(xy) = y + x,dydx (regra do produto)
  • ddx[y^2] = 2y,dydx
  • ddx[x] = 1
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sec^2(xy),(y + x,y') + 2y,y' = 1,
onde escrevemos y'=tfracdydx.

Passo 3

Expandindo e juntando os termos que contêm y':
sec^2(xy),y + sec^2(xy),x,y' + 2y,y' = 1 Longrightarrow l(x,sec^2(xy) + 2yr),y' = 1 - y,sec^2(xy)

Passo 4

Isolando y':
y' = 1 - y,sec^2(xy)x,sec^2(xy) + 2y

Resposta

dydx = 1 - y,sec^2(xy)x,sec^2(xy) + 2y

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