Nos exercícios abaixo verifique se a função é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.
em

Passo 1

Queremos verificar a continuidade de
f(t)= dfrac1-raizt1-raiz[3]t,&tneq1, dfrac32,&t=1
em t=1. Para isso precisamos checar se
limtto1f(t)=f(1)=tfrac32

Passo 2

Calculamos
limtto11-raizt1-raiz[3]t
Note que ao substituir t=1 obtemos 0/0, forma indeterminada. Para eliminar a indeterminação, fazemos a substituição auxiliar u=t^1/6. Então
raizt=u^3 e raiz[3]t=u^2, e temos
1-raizt=1-u^3=(1-u)(1+u+u^2),
1-raiz[3]t=1-u^2=(1-u)(1+u)
Logo
1-raizt1-raiz[3]t =(1-u)(1+u+u^2)(1-u)(1+u) =1+u+u^21+u
Agora basta tomar o limite tto1Rightarrow uto1:
limuto11+u+u^21+u =1+1+11+1 =32

Passo 3

Como
limtto1f(t)=32
e
f(1)=32,
segue que
limtto1f(t)=f(1),
ou seja, f é contínua em t=1.

Resposta

A função f é contínua em t=1 porque limtto1f(t)=3/2=f(1).

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