Calcular as integrais:
\int \cot ^{4}(2 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \cot^{4}(2x)\,\mathrm{d}x.
Informações dadas (explicitadas): a função a integrar é \cot^{4}(2x) em relação a x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\cot^{4}(2x).

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas básicas para simplificar a integral. Lembra da identidade obtida a partir de \sin^2+\cos^2=1 dividindo por \sin^2?
1+\cot^{2}t=\csc^{2}t.
Dessa identidade segue
\cot^{2}t=\csc^{2}t-1.
Então podemos escrever
\cot^{4}(2x)=\big(\cot^{2}(2x)\big)^{2}=\big(\csc^{2}(2x)-1\big)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado obtemos
\cot^{4}(2x)=\csc^{4}(2x)-2\csc^{2}(2x)+1.
Isso transforma a integral original em soma de integrais mais simples:
\int \cot^{4}(2x)\,\mathrm{d}x=\int \csc^{4}(2x)\,\mathrm{d}x-2\int \csc^{2}(2x)\,\mathrm{d}x+\int 1\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculemos as partes fáceis primeiro.
  1. A integral de 1:
\int 1\,\mathrm{d}x = x.
  1. A integral de \csc^{2}(2x). Sabendo que a derivada \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cot t = -\csc^{2}t, uma primitiva de \csc^{2}t é -\cot t. Fazendo a substituição u=2x, \mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x (ou diretamente lembrando do fator de cadeia), temos
\int \csc^{2}(2x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \csc^{2}u\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\big(-\cot u\big) + C = -\frac{1}{2}\cot(2x)+C.
Multiplicando pelo -2 do somatório anterior:
-2\int \csc^{2}(2x)\,\mathrm{d}x = -2\left(-\frac{1}{2}\cot(2x)\right)=\cot(2x).

Passo 4

Falta a parte \int \csc^{4}(2x)\,\mathrm{d}x. Para essa integral usamos a técnica de reduzir a potência usando a relação entre \csc e \cot. Observe:
\csc^{4}(2x)=\csc^{2}(2x)\cdot \csc^{2}(2x)=\csc^{2}(2x)\big(1+\cot^{2}(2x)\big),
pois 1+\cot^{2}(2x)=\csc^{2}(2x). Agora fazemos a substituição
u=\cot(2x).
Calcule \mathrm{d}u: como \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot(2x) = -2\csc^{2}(2x), obtemos
\mathrm{d}u = -2\csc^{2}(2x)\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \csc^{2}(2x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u.
Substituindo na integral:
\int \csc^{4}(2x)\,\mathrm{d}x = \int \csc^{2}(2x)\big(1+\cot^{2}(2x)\big)\,\mathrm{d}x = \int (1+u^{2})\left(-\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\right).
Isso é
\int \csc^{4}(2x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int (1+u^{2})\,\mathrm{d}u = -\frac{1}{2}\left(u+\frac{u^{3}}{3}\right)+C.
Voltando a x (substituindo u=\cot(2x)):
\int \csc^{4}(2x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\cot(2x)-\frac{1}{6}\cot^{3}(2x)+C.

Passo 5

Agora junte todas as parcelas que tínhamos:
\int \cot^{4}(2x)\,\mathrm{d}x = \bigg(-\frac{1}{2}\cot(2x)-\frac{1}{6}\cot^{3}(2x)\bigg) \;+\;\cot(2x)\;+\;x \;+\; C.
Some os termos em \cot(2x):
-\frac{1}{2}\cot(2x)+\cot(2x)=\frac{1}{2}\cot(2x).
Portanto a primitiva fica
x+\frac{1}{2}\cot(2x)-\frac{1}{6}\cot^{3}(2x)+C.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas boa prática): derivando
F(x)=x+\frac{1}{2}\cot(2x)-\frac{1}{6}\cot^{3}(2x)
temos
F'(x)=1+\frac{1}{2}\big(-2\csc^{2}(2x)\big)-\frac{1}{6}\cdot 3\cot^{2}(2x)\big(-2\csc^{2}(2x)\big).
Simplificando:
F'(x)=1-\csc^{2}(2x)+\cot^{2}(2x)\csc^{2}(2x) =1+\csc^{4}(2x)-2\csc^{2}(2x)=\cot^{4}(2x),
usando \cot^{4}=\csc^{4}-2\csc^{2}+1. Confere com o integrando, logo a primitiva está correta.

Resposta

x+\tfrac{1}{2}\cot(2x)-\tfrac{1}{6}\cot^{3}(2x)+C

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