Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (explicitadas): a função a integrar é
em relação a
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas básicas para simplificar a integral. Lembra da identidade obtida a partir de
dividindo por
?
Dessa identidade segue
Então podemos escrever
Desenvolvendo o quadrado obtemos
Isso transforma a integral original em soma de integrais mais simples:
Passo 3
Calculemos as partes fáceis primeiro.
- A integral de
:
- A integral de
. Sabendo que a derivada , uma primitiva de é . Fazendo a substituição , (ou diretamente lembrando do fator de cadeia), temos
Multiplicando pelo
do somatório anterior:
Passo 4
Falta a parte
. Para essa integral usamos a técnica de reduzir a potência usando a relação entre
e
. Observe:
pois
. Agora fazemos a substituição
Calcule
: como
, obtemos
Substituindo na integral:
Isso é
Voltando a
(substituindo
):
Passo 5
Agora junte todas as parcelas que tínhamos:
Some os termos em
:
Portanto a primitiva fica
Passo 6
Checagem rápida (opcional, mas boa prática): derivando
temos
Simplificando:
usando
. Confere com o integrando, logo a primitiva está correta.