Calcular as integrais:
\int \frac{x^{2}+x}{x^{3}-x^{2}+x-1} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}+x}{x^{3}-x^{2}+x-1}\,\mathrm{d}x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é uma função racional: quociente de dois polinômios.
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}+x, de grau 2.
  • O denominador é o polinômio \,x^{3}-x^{2}+x-1, de grau 3.
  • Como o denominador é de grau maior que o numerador, não é necessário fazer divisão polinomial antes de tentar decompor.
  • Zeros do denominador (raízes) são pontos onde a função não está definida; eventualmente será útil fatorar o denominador.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para ver a estrutura dos fatores (técnica de fatoração por agrupamento). Trabalhando o polinômio
x^{3}-x^{2}+x-1,
fazemos agrupamento em dois pares:
x^{3}-x^{2}+x-1 = (x^{3}-x^{2}) + (x-1).
Fatorando x^{2} do primeiro par e 1 do segundo par:
(x^{3}-x^{2}) + (x-1) = x^{2}(x-1) + 1\cdot(x-1).
Agora há um fator comum (x-1), então
x^{3}-x^{2}+x-1 = (x-1)\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto o denominador já se escreve como produto de um fator linear (x-1) e um fator quadrático irreduzível sobre os reais (x^{2}+1).

Passo 3

Como o integrando é uma fração racional com denominador (x-1)(x^{2}+1)\), podemos escrever uma decomposição em frações parciais da forma \[\frac{x^{2}+x}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicando por que essa forma: para cada fator linear (x-1) usamos um termo \dfrac{A}{x-1}, e para o fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C (grau menor que 2).
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
x^{2}+x = A\bigl(x^{2}+1\bigr) + (Bx+C)(x-1).
Vamos expandir o lado direito e comparar coeficientes. Expandindo:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1) = A x^{2} + A + Bx^{2} - Bx + Cx - C.
Agrupando termos semelhantes:
= (A+B)\,x^{2} + (-B+C)\,x + (A-C).
Comparando com o lado esquerdo x^{2}+x (que tem coeficientes 1 para x^{2}, 1 para x e 0 para a constante), obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -\,B + C = 1,\\[4pt] A - C = 0. \end{cases}
Da terceira equação A - C = 0\] segue \(C=A. Substituindo na segunda equação:
-\,B + A = 1 \quad\Rightarrow\quad B = A - 1.
Substituindo B na primeira equação:
A + (A-1) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A = 2 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo C=A=1 e B=A-1=0. Portanto a decomposição é
\frac{x^{2}+x}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x^{2}+1}.]

Passo 4

Agora a integral se separa em duas integrais simples:
\int \frac{x^{2}+x}{x^{3}-x^{2}+x-1}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x + \int \frac{1}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x.
Relembre as primitivas básicas usadas aqui:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,\mathrm{d}x vale
\int \frac{1}{x-a}\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|x-a\bigr| + C,
pois \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\bigl(\ln|x-a|\bigr)=\dfrac{1}{x-a}.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x vale
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C,
pois \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\bigl(\arctan x\bigr)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Aplicando essas fórmulas às duas integrais:
\int \frac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|x-1\bigr| + C_1, \qquad \int \frac{1}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C_2.
Somando (e absorvendo C_1+C_2 numa constante única C) obtemos a primitiva desejada.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|x-1\bigr|+\arctan x + C

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