A função a integrar é uma função racional: quociente de dois polinômios.
O numerador é o polinômio \,x^{2}+x, de grau 2.
O denominador é o polinômio \,x^{3}-x^{2}+x-1, de grau 3.
Como o denominador é de grau maior que o numerador, não é necessário fazer divisão polinomial antes de tentar decompor.
Zeros do denominador (raízes) são pontos onde a função não está definida; eventualmente será útil fatorar o denominador.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador para ver a estrutura dos fatores (técnica de fatoração por agrupamento). Trabalhando o polinômio
x^{3}-x^{2}+x-1,
fazemos agrupamento em dois pares:
x^{3}-x^{2}+x-1 = (x^{3}-x^{2}) + (x-1).
Fatorando x^{2} do primeiro par e 1 do segundo par:
(x^{3}-x^{2}) + (x-1) = x^{2}(x-1) + 1\cdot(x-1).
Agora há um fator comum (x-1), então
x^{3}-x^{2}+x-1 = (x-1)\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto o denominador já se escreve como produto de um fator linear (x-1) e um fator quadrático irreduzível sobre os reais (x^{2}+1).
Passo 3
Como o integrando é uma fração racional com denominador (x-1)(x^{2}+1)\), podemos escrever uma decomposição em frações parciais da forma
\[\frac{x^{2}+x}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicando por que essa forma: para cada fator linear (x-1) usamos um termo \dfrac{A}{x-1}, e para o fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C (grau menor que 2).
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
x^{2}+x = A\bigl(x^{2}+1\bigr) + (Bx+C)(x-1).
Vamos expandir o lado direito e comparar coeficientes. Expandindo:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1) = A x^{2} + A + Bx^{2} - Bx + Cx - C.
Agrupando termos semelhantes:
= (A+B)\,x^{2} + (-B+C)\,x + (A-C).
Comparando com o lado esquerdo x^{2}+x (que tem coeficientes 1 para x^{2}, 1 para x e 0 para a constante), obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -\,B + C = 1,\\[4pt] A - C = 0. \end{cases}
Da terceira equação A - C = 0\] segue \(C=A. Substituindo na segunda equação: