Calcular as integrais:
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16-x^{2}}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedem para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • A raiz \sqrt{16-x^{2}} sugere que a variável x está no intervalo |x|<4 (ou pelo menos que consideramos a região onde a expressão sob a raiz é não negativa).
    • A integral não está definida em x=0 (há singularidade em x=0).
Resumo do pedido: encontrar uma primitiva da função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}\sqrt{16-x^{2}}}, para valores de x com |x|<4 e x\neq0.

Passo 2

Escolha do método: substituição trigonométrica.
  • Ideia geral: sempre que aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} é muito conveniente usar a substituição trigonométrica x = a\sin\theta,porque então \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta. Isso simplifica raízes do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}.
  • Aqui a=4. Então fazemos a substituição x = 4\sin\theta.
  • Vamos explicar cada parte dessa substituição:
    • Se \,x=4\sin\theta, então \sin\theta=\dfrac{x}{4}.
    • Derivando ambos os lados em relação a \theta: dx = 4\cos\theta\,d\theta.
    • A raiz fica \sqrt{16-x^{2}}=\sqrt{16-16\sin^{2}\theta}=4\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=4\cos\theta,assumindo \cos\theta\ge0 (escolhemos \theta no intervalo -\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{\pi}{2} para corresponder a |x|<4).

Passo 3

Aplicar a substituição na integral e simplificar.
  • Substituindo \,x=4\sin\theta e dx=4\cos\theta\,d\theta na integral: \int \frac{1}{x^{2}\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{(4\sin\theta)^{2}\cdot(4\cos\theta)}\cdot(4\cos\theta)\,d\theta.
  • Agora simplificar fatores iguais no numerador e denominador: (4\cos\theta)\\ \text{no numerador cancela com}\\ (4\cos\theta)\\ \text{no denominador},sobrando \int \frac{1}{(4\sin\theta)^{2}}\,d\theta.
  • Escrevendo isso de forma explícita: \int \frac{1}{(4\sin\theta)^{2}}\,d\theta = \int \frac{1}{16\sin^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{16}\int \csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar \csc^{2}\theta e recordar a primitiva.
  • Conhecimento útil: a derivada da função \cot\theta é \dfrac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^{2}\theta.
  • Portanto uma primitiva de \csc^{2}\theta é -\cot\theta.
  • Assim temos \frac{1}{16}\int \csc^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{16}\cdot(-\cot\theta)+C = -\frac{1}{16}\cot\theta + C,onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar a variável \theta para x (substituição inversa).
  • Lembrando que escolhemos \,x=4\sin\theta, então \sin\theta=\dfrac{x}{4}.
  • A cotangente é \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Usando as relações trigonométricas: \cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \sqrt{1-\left(\frac{x}{4}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}.
  • Então \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\dfrac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}{\dfrac{x}{4}} = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{x}.
  • Substituindo esto na primitiva obtida: -\frac{1}{16}\cot\theta + C = -\frac{1}{16}\cdot\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{x} + C.

Passo 6

Observações finais sobre domínio e forma final.
  • A expressão encontrada -\frac{1}{16}\cdot\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{x} + Cé válida para |x|<4 e x\neq0, que é onde a integral original faz sentido (a raiz é real e não há divisão por zero).
  • Pode-se escrever de forma mais compacta: -\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{16x} + C.
  • Se for necessário estender a primitiva para outras subintervalos, considerar o sinal da raiz e o sinal de x pode ser relevante — aqui adotamos a raiz principal \sqrt{16-x^{2}}\ge0.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{16-x^{2}}}{16x}+C

Exercícios relacionados