Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedem para calcular a integral indefinida
. - Informações importantes extraídas do enunciado:
- A raiz
sugere que a variável está no intervalo (ou pelo menos que consideramos a região onde a expressão sob a raiz é não negativa). - A integral não está definida em
(há singularidade em ).
- A raiz
Resumo do pedido: encontrar uma primitiva da função
, para valores de
com
e
.
Passo 2
Escolha do método: substituição trigonométrica.
- Ideia geral: sempre que aparece
é muito conveniente usar a substituição trigonométrica porque então . Isso simplifica raízes do tipo . - Aqui
. Então fazemos a substituição - Vamos explicar cada parte dessa substituição:
- Se
, então . - Derivando ambos os lados em relação a
: . - A raiz fica
assumindo (escolhemos no intervalo para corresponder a ).
- Se
Passo 3
Aplicar a substituição na integral e simplificar.
- Substituindo
e na integral: - Agora simplificar fatores iguais no numerador e denominador:
sobrando - Escrevendo isso de forma explícita:
Passo 4
Integrar
e recordar a primitiva.
- Conhecimento útil: a derivada da função
é . - Portanto uma primitiva de
é . - Assim temos
onde é a constante de integração.
Passo 5
Voltar a variável
para
(substituição inversa).
- Lembrando que escolhemos
, então . - A cotangente é
. Usando as relações trigonométricas: - Então
- Substituindo esto na primitiva obtida:
Passo 6
Observações finais sobre domínio e forma final.
- A expressão encontrada
é válida para e , que é onde a integral original faz sentido (a raiz é real e não há divisão por zero). - Pode-se escrever de forma mais compacta:
- Se for necessário estender a primitiva para outras subintervalos, considerar o sinal da raiz e o sinal de
pode ser relevante — aqui adotamos a raiz principal .