Calcular as integrais:
\int \frac{-8(\ln x)^{3}+13(\ln x)^{2}+18 \ln x+63}{x\left((\ln x)^{4}+9(\ln x)^{2}\right)} \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{-8(\ln x)^{3}+13(\ln x)^{2}+18 \ln x+63}{x\left((\ln x)^{4}+9(\ln x)^{2}\right)} \, \mathrm{d}x.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é uma função racional em termos de \ln x, com um fator 1/x fora.
  • A integral é indefinida, portanto devemos retornar uma primitiva mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição simples e natural: definir
t=\ln x.
Como \mathrm{d}t=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x, temos \mathrm{d}x = x\,\mathrm{d}t e o fator \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x se torna \mathrm{d}t. Assim a integral em x transforma-se em uma integral em t:
\int \frac{-8(\ln x)^{3}+13(\ln x)^{2}+18 \ln x+63}{x\left((\ln x)^{4}+9(\ln x)^{2}\right)} \, \mathrm{d}x = \int \frac{-8t^{3}+13t^{2}+18t+63}{t^{4}+9t^{2}} \, \mathrm{d}t.

Passo 3

Simplifico o denominador em t. Note que
t^{4}+9t^{2}=t^{2}(t^{2}+9).
Portanto a integral fica
\int \frac{-8t^{3}+13t^{2}+18t+63}{t^{2}(t^{2}+9)} \, \mathrm{d}t.
Agora estamos diante de uma integral de uma função racional própria (grau do numerador menor que grau do denominador), e o método adequado é decomposição em frações parciais.

Passo 4

Proponho a decomposição em frações parciais da forma
\frac{-8t^{3}+13t^{2}+18t+63}{t^{2}(t^{2}+9)} =\frac{A}{t}+\frac{B}{t^{2}}+\frac{Ct+D}{t^{2}+9},
pois o denominador tem fatores t (com multiplicidade 2) e t^{2}+9 (quadrático irreduzível). A ideia é encontrar A,B,C,D reais que satisfaçam a identidade.

Passo 5

Multiplico ambos os lados por t^{2}(t^{2}+9) para eliminar denominadores:
-8t^{3}+13t^{2}+18t+63 = A\,t(t^{2}+9) + B(t^{2}+9) + (Ct+D)t^{2}.
Expando o lado direito:
A t^{3} + 9A t + B t^{2} + 9B + C t^{3} + D t^{2}.
Agrupando coeficientes por potências de t:
(A+C)t^{3} + (B+D)t^{2} + 9A t + 9B.
Comparo com o polinômio do lado esquerdo, termo a termo:
  • Coeficiente de t^{3}: A+C = -8.
  • Coeficiente de t^{2}: B+D = 13.
  • Coeficiente de t: 9A = 18.
  • Termo constante: 9B = 63.
Resolvo as equações fáceis primeiro:
9A=18 \implies A=2, \qquad 9B=63 \implies B=7.
Agora uso A e B para achar C e D:
A+C=-8 \implies 2+C=-8 \implies C=-10,
B+D=13 \implies 7+D=13 \implies D=6.
Logo a decomposição é
\frac{-8t^{3}+13t^{2}+18t+63}{t^{2}(t^{2}+9)} =\frac{2}{t}+\frac{7}{t^{2}}+\frac{-10t+6}{t^{2}+9}.

Passo 6

Divido a integral em parcelas e integro termo a termo:
\int \left(\frac{2}{t}+\frac{7}{t^{2}}+\frac{-10t+6}{t^{2}+9}\right)\mathrm{d}t = \int \frac{2}{t}\,\mathrm{d}t + \int \frac{7}{t^{2}}\,\mathrm{d}t + \int \frac{-10t}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t + \int \frac{6}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t.
Agora uso fórmulas básicas de integração (explicando cada uma):
  • Para \displaystyle \int \frac{2}{t}\,\mathrm{d}t: a primitiva de \dfrac{1}{t} é \ln|t|. Logo
\int \frac{2}{t}\,\mathrm{d}t = 2\ln|t|.
  • Para \displaystyle \int \frac{7}{t^{2}}\,\mathrm{d}t: escrevo \dfrac{7}{t^{2}}=7t^{-2}. A primitiva de t^{-2} é -t^{-1}. Logo
\int \frac{7}{t^{2}}\,\mathrm{d}t = 7\cdot(-t^{-1}) = -\frac{7}{t}.
  • Para \displaystyle \int \frac{-10t}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t: faço a substituição u=t^{2}+9, então \mathrm{d}u=2t\,\mathrm{d}t. Assim
\int \frac{-10t}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t = -5\int \frac{2t}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t = -5\ln(t^{2}+9).
(Porque \int \dfrac{2t}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t = \ln(t^{2}+9).)
  • Para \displaystyle \int \frac{6}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t: uso a fórmula \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}+a^{2}}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right). Aqui a^{2}=9 \implies a=3. Então
\int \frac{6}{t^{2}+9}\,\mathrm{d}t = 6\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{t}{3}\right) = 2\arctan\!\left(\frac{t}{3}\right).
Somando todas as partes obtemos a primitiva em t:
2\ln|t| - \frac{7}{t} -5\ln(t^{2}+9) + 2\arctan\!\left(\frac{t}{3}\right) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Voltando à variável original x usando t=\ln x, substituo em cada termo:
2\ln|\ln x| - \frac{7}{\ln x} -5\ln\bigl((\ln x)^{2}+9\bigr) + 2\arctan\!\left(\frac{\ln x}{3}\right) + C.

Resposta

2\ln|\ln x|-\dfrac{7}{\ln x}-5\ln\bigl((\ln x)^{2}+9\bigr)+2\arctan\!\left(\dfrac{\ln x}{3}\right)+C

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