Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é uma função racional em termos de
, com um fator fora. - A integral é indefinida, portanto devemos retornar uma primitiva mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Vamos fazer uma substituição simples e natural: definir
Como
, temos
e o fator
se torna
. Assim a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Passo 3
Simplifico o denominador em
. Note que
Portanto a integral fica
Agora estamos diante de uma integral de uma função racional própria (grau do numerador menor que grau do denominador), e o método adequado é decomposição em frações parciais.
Passo 4
Proponho a decomposição em frações parciais da forma
pois o denominador tem fatores
(com multiplicidade 2) e
(quadrático irreduzível). A ideia é encontrar
reais que satisfaçam a identidade.
Passo 5
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expando o lado direito:
Agrupando coeficientes por potências de
:
Comparo com o polinômio do lado esquerdo, termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvo as equações fáceis primeiro:
Agora uso
e
para achar
e
:
Logo a decomposição é
Passo 6
Divido a integral em parcelas e integro termo a termo:
Agora uso fórmulas básicas de integração (explicando cada uma):
- Para
: a primitiva de é . Logo
- Para
: escrevo . A primitiva de é . Logo
- Para
: faço a substituição , então . Assim
(Porque
.)
- Para
: uso a fórmula . Aqui . Então
Somando todas as partes obtemos a primitiva em
:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Voltando à variável original
usando
, substituo em cada termo: