Calcular as integrais.
\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{6}}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{2}\frac{dx}{x^{6}}.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é \frac{1}{x^{6}}, que também podemos escrever como x^{-6}.
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • A integranda é contínua em [1,2] (não há singularidade porque x\neq0 nesse intervalo), então a integral definida existe e podemos calcular usando uma antiderivada.

Passo 2

Escolha do método: como a integranda é uma potência de x (isto é, x^{n} com algum n), o método mais direto é usar a regra de potências para antiderivadas. Essa regra vale sempre que o expoente for diferente de -1.
Regra (explicação): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente (um número fixo) e C é a constante de integração. Podemos verificar a regra derivando: se F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} então
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
logo F é uma primitiva de x^{n}.

Passo 3

Aplicando a regra com n=-6: uma antiderivada de x^{-6} é
\frac{x^{-5}}{-5}+C.
Podemos reescrever de forma equivalente como
-\frac{1}{5}x^{-5}+C
ou
-\frac{1}{5x^{5}}+C.

Passo 4

Como queremos a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites 1 e 2. Usando a primitiva F(x)=-\dfrac{1}{5x^{5}} obtemos
\left. -\frac{1}{5x^{5}}\right|_{1}^{2} = -\frac{1}{5\cdot 2^{5}} - \left(-\frac{1}{5\cdot 1^{5}}\right).

Passo 5

Calculando os valores numéricos parciais: 2^{5}=32 e 1^{5}=1. Assim a expressão do passo anterior fica
-\frac{1}{5\cdot 32} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{160} + \frac{1}{5}.

Resposta

\dfrac{31}{160}

Exercícios relacionados