Calcular as integrais.
\int_{0}^{3} x \sqrt{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\sqrt{1+x}.
  • Os limites de integração são x=0 a x=3.
    O que se pede: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e amigável): aqui temos um radical \sqrt{1+x} combinado com um x. Uma substituição que torne o radical uma potência simples costuma ser eficiente. Então vamos definir uma nova variável que absorva 1+x. Isso facilita transformar a integral em soma de potências, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1+x.
Agora expressamos todas as partes em função de u.
  • Como u=1+x, temos x = u-1.
  • Como du = dx, então dx = du.
  • Mudança dos limites: quando x=0 temos u=1+0=1; quando x=3 temos u=1+3=4.
Assim a integral vira
\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x}\,dx = \int_{1}^{4} (u-1)\sqrt{u}\,du.

Passo 4

Simplificamos o integrando usando potências. Lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2}, temos
(u-1)\sqrt{u} = (u-1)u^{1/2} = u\cdot u^{1/2} - 1\cdot u^{1/2} = u^{3/2} - u^{1/2}.
Portanto a integral ficou
\int_{1}^{4} \bigl(u^{3/2} - u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Regra de integração que vamos usar (explicando didaticamente): a regra de potencia para integrais diz que, para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente da potência; por exemplo, se n=\tfrac{1}{2} então n+1=\tfrac{3}{2} e a primitiva é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Vamos aplicar esta regra termo a termo na soma u^{3/2}-u^{1/2}.

Passo 6

Calculamos a primitiva de cada termo:
  • Para u^{3/2}, usando a regra com n=\tfrac{3}{2},
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
  • Para u^{1/2}, com n=\tfrac{1}{2},
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Assim a primitiva da função u^{3/2}-u^{1/2} é
F(u) = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 7

Agora avaliamos a integral definida pelos limites u=1 e u=4:
\int_{1}^{4} \bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du = \left[\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{4}.
Calculamos as potências necessárias. Note que 4^{1/2}=2, então
4^{3/2} = (4^{1/2})^{3} = 2^{3} = 8, \qquad 4^{5/2} = (4^{1/2})^{5} = 2^{5} = 32.
E 1^{3/2}=1, 1^{5/2}=1.

Passo 8

Substituímos os valores:
  • Em u=4:
\frac{2}{5}\cdot 4^{5/2} - \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} = \frac{2}{5}\cdot 32 - \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{64}{5} - \frac{16}{3}.
  • Em u=1:
\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2} - \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} = \frac{2}{5} - \frac{2}{3}.
Agora subtraímos (valor em 4 menos valor em 1):
\left(\frac{64}{5} - \frac{16}{3}\right) - \left(\frac{2}{5} - \frac{2}{3}\right).
Colocando em denominador comum 15:
\frac{64}{5} - \frac{16}{3} = \frac{192-80}{15} = \frac{112}{15}, \qquad \frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{6-10}{15} = -\frac{4}{15}.
Então a diferença é
\frac{112}{15} - \left(-\frac{4}{15}\right) = \frac{112}{15} + \frac{4}{15} = \frac{116}{15}.

Resposta

\dfrac{116}{15}

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