Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
a .
O que se pede: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e amigável): aqui temos um radical
combinado com um
. Uma substituição que torne o radical uma potência simples costuma ser eficiente. Então vamos definir uma nova variável que absorva
. Isso facilita transformar a integral em soma de potências, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora expressamos todas as partes em função de
.
- Como
, temos . - Como
, então . - Mudança dos limites: quando
temos ; quando temos .
Assim a integral vira
Passo 4
Simplificamos o integrando usando potências. Lembrando que
, temos
Portanto a integral ficou
Passo 5
Regra de integração que vamos usar (explicando didaticamente): a regra de potencia para integrais diz que, para qualquer
,
Aqui
é o expoente da potência; por exemplo, se
então
e a primitiva é
. Vamos aplicar esta regra termo a termo na soma
.
Passo 6
Calculamos a primitiva de cada termo:
- Para
, usando a regra com ,
- Para
, com ,
Assim a primitiva da função
é
Passo 7
Agora avaliamos a integral definida pelos limites
e
:
Calculamos as potências necessárias. Note que
, então
E
,
.
Passo 8
Substituímos os valores:
- Em
:
- Em
:
Agora subtraímos (valor em 4 menos valor em 1):
Colocando em denominador comum
:
Então a diferença é