Calcular as integrais.
\int_{4}^{9} 2 t \sqrt{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{4}^{9} 2\, t \sqrt{t}\, dt.
Informações dadas:
\;0) Os limites de integração são 4 (inferior) e 9 (superior).
\;1) A função a integrar é 2\, t \sqrt{t}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a forma da função usando potências. Lembre que a raiz quadrada pode ser escrita como potência:
\sqrt{t} = t^{1/2}.
Então a função vira
2\, t \sqrt{t} = 2\, t \cdot t^{1/2} = 2\, t^{1 + 1/2} = 2\, t^{3/2}.
Agora a integral é
\int_{4}^{9} 2\, t^{3/2}\, dt.

Passo 3

Vamos rever a regra básica de integração que vamos usar (a “regra da potência”). Para qualquer número real n \neq -1,
\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
onde t é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração (não usamos C em integrais definidas, mas é importante para integrais indefinidas). Também é válido que constantes multiplicativas saem da integral:
\int a\cdot f(t)\, dt = a\int f(t)\, dt,
para constante a.
Exemplo rápido: \int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3} + C.

Passo 4

Aplicando a regra da potência à nossa integral. Primeiro fatoramos a constante 2:
\int_{4}^{9} 2\, t^{3/2}\, dt = 2 \int_{4}^{9} t^{3/2}\, dt.
Usando a fórmula com n=\tfrac{3}{2}, o antiderivado de t^{3/2} é \dfrac{t^{5/2}}{5/2}. Portanto
2 \int t^{3/2}\, dt = 2 \cdot \frac{t^{5/2}}{5/2} = 2 \cdot \frac{2}{5}\, t^{5/2} = \frac{4}{5}\, t^{5/2}.
Assim um antiderivado (primitiva) é \dfrac{4}{5} t^{5/2}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{4}^{9} 2\, t^{3/2}\, dt = \left.\frac{4}{5}\, t^{5/2}\right|_{4}^{9} = \frac{4}{5}\bigl(9^{5/2} - 4^{5/2}\bigr).
Calculemos 9^{5/2} e 4^{5/2} usando a propriedade t^{5/2}=(\sqrt{t})^{5}:
9^{5/2} = (\sqrt{9})^{5} = 3^{5} = 243,
4^{5/2} = (\sqrt{4})^{5} = 2^{5} = 32.
Substituindo:
\frac{4}{5}\bigl(243 - 32\bigr) = \frac{4}{5}\cdot 211 = \frac{844}{5}.

Resposta

\dfrac{844}{5}

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