O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{4}^{9} 2\, t \sqrt{t}\, dt.
Informações dadas: \;0) Os limites de integração são 4 (inferior) e 9 (superior). \;1) A função a integrar é 2\, t \sqrt{t}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a forma da função usando potências. Lembre que a raiz quadrada pode ser escrita como potência:
\sqrt{t} = t^{1/2}.
Então a função vira
2\, t \sqrt{t} = 2\, t \cdot t^{1/2} = 2\, t^{1 + 1/2} = 2\, t^{3/2}.
Agora a integral é
\int_{4}^{9} 2\, t^{3/2}\, dt.
Passo 3
Vamos rever a regra básica de integração que vamos usar (a “regra da potência”). Para qualquer número real n \neq -1,
\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
onde t é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração (não usamos C em integrais definidas, mas é importante para integrais indefinidas). Também é válido que constantes multiplicativas saem da integral:
\int a\cdot f(t)\, dt = a\int f(t)\, dt,
para constante a.
Exemplo rápido: \int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3} + C.
Passo 4
Aplicando a regra da potência à nossa integral. Primeiro fatoramos a constante 2: