Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos a função integranda
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida entre esses limites.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Antes de aplicar, explico a fórmula e por que ela funciona.
A regra de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados entre limites apropriados e reorganizando, obtemos a fórmula (no caso de primitiva, sem limites)
Aqui:
-
significa a diferencial de , isto é . -
é uma forma que integraremos para obter , isto é .
A ideia prática: escolhemospara ser uma função que fica mais simples ao derivar, e para ser algo fácil de integrar.
Passo 3
Escolha das partes para o nosso integrando
.
- Tomamos
. Justificativa: simplifica bastante ao derivar, pois . - Tomamos
. Justificativa: é fácil de integrar.
Essa escolha é a mais natural aqui porque a derivada de
cancela o
em
quando combinados, deixando uma integral simples.
Passo 4
Calcular
e
.
- Se
, então
- Se
, então integrando ambos os lados,
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes (no caso definido, usaremos a forma para integrais definidas):
Substituindo
,
e
, obtemos
Simplificando a integranda da segunda integral:
Logo
Passo 6
Calcular as partes separadamente.
Primeiro, o termo da avaliação:
Note que usei
.
Segundo, a integral restante:
Calcule a primitiva de
:
. Portanto,
Calcule dentro dos parênteses:
Então
Passo 7
Agora junte os resultados: