Calcular as integrais.
\int_{1}^{2} x \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x \ln x \, dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos a função integranda x \ln x.
  • Os limites de integração são 1 e 2.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida entre esses limites.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Antes de aplicar, explico a fórmula e por que ela funciona.
A regra de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\big(u(x)v(x)\big)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados entre limites apropriados e reorganizando, obtemos a fórmula (no caso de primitiva, sem limites)
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • \,du significa a diferencial de u, isto é du = u'(x)\,dx.
  • \,dv é uma forma que integraremos para obter v, isto é v = \int dv.
    A ideia prática: escolhemos u para ser uma função que fica mais simples ao derivar, e dv para ser algo fácil de integrar.

Passo 3

Escolha das partes para o nosso integrando x\ln x.
  • Tomamos u = \ln x. Justificativa: \ln x simplifica bastante ao derivar, pois \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
  • Tomamos dv = x\,dx. Justificativa: x é fácil de integrar.
Essa escolha é a mais natural aqui porque a derivada de \ln x cancela o x em x\,dx quando combinados, deixando uma integral simples.

Passo 4

Calcular du e v.
  • Se u=\ln x, então
du = \frac{1}{x}\,dx.
  • Se dv = x\,dx, então integrando ambos os lados,
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes (no caso definido, usaremos a forma para integrais definidas):
\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = \left[uv\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} v\,du.
Substituindo u=\ln x, v=\dfrac{x^{2}}{2} e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integranda da segunda integral:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2}.
Logo
\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{2}\,dx.

Passo 6

Calcular as partes separadamente.
Primeiro, o termo da avaliação:
\left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2}\ln 2 - \frac{1^{2}}{2}\ln 1 = \frac{4}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\cdot 0 = 2\ln 2.
Note que usei \ln 1 = 0.
Segundo, a integral restante:
\int_{1}^{2} \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} x\,dx.
Calcule a primitiva de x: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto,
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} x\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right).
Calcule dentro dos parênteses:
\frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Então
\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4}.

Passo 7

Agora junte os resultados:
\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = \left(2\ln 2\right) - \left(\frac{3}{4}\right) = 2\ln 2 - \frac{3}{4}.

Resposta

2\ln 2 - \dfrac{3}{4}

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